山东省五莲县、诸城市、安丘市、兰山区四县区2022届高三数学过程性测试试卷

试卷更新日期：2022-05-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > - 1}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 1 ， 2}$

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2. 已知 $z (1 + i) = 2 + i$ ，则在复平面内复数 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的侧面与底面的面积之比为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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4. 下列区间中，函数 $f (x) = 5 \sin (- \frac{1}{2} x + \frac{π}{3})$ 单调递减的区间是（）

A、 $[- π ， - \frac{π}{2}]$ B、 $[\frac{π}{2} ， π]$ C、 $[\frac{3 π}{2} ， 2 π]$ D、 $[2 π ， \frac{5 π}{2}]$

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5. 设 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{3} - 8$ ，则 $f (x - 2) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 4 ， 0) \cup (2 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 2) \cup (4 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (2 ， 4)$ D、 $(- 4 ， 4)$

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6. 按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位： $A h$ ），放电时间t（单位： $h$ ）与放电电流I（单位： $A$ ）之间关系的经验公式： $C = I^{n} \cdot t$ ，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流 $I = 20 A$ 时，放电时间 $t = 20 h$ ；当放电电流 $I = 30 A$ 时，放电时间 $t = 10 h$ .则该蓄电池的Peukert常数n大约为（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.30$ ， $l g 3 \approx 0.48$ ）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、2

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7. 已知P为抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一个动点，Q为圆 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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8. 已知定义在R上的函数 $f (x) = \frac{6}{e^{x} + 1} + \frac{m x}{| x | + 1} (m \in R 且 m \neq 0)$ ，（e为自然对数的底数， $e \approx 2.71828$ ），则 $f (- 2022) + f (2022) =$ （）

A、3 B、6 C、3e D、与实数m的取值有关

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二、多选题

9. 我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高．“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力，2017年~2021年某市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示，根据下面图表、下列说法一定正确的是（）

A、对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的小 B、该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民 C、对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大 D、2021年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升

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10. 已知对任意平面向量 $\vec{A B} = (x ， y)$ ，把 $\vec{A B}$ 绕其起点A沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到向量 $\vec{A P} = (x \cos θ - y \sin θ ， x \sin θ + y \cos θ)$ ，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点P．已知平面内点 $A (1 ， 2)$ ，点 $B (1 + \sqrt{2} ， 2 - 2 \sqrt{2})$ ，把点B绕点A沿顺时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 后得到点 $P_{1}$ ，逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{3}$ 后分别得到点 $P_{2}$ ， $P_{3}$ 则（）

A、 $\vec{A P_{1}} \cdot \vec{A P_{2}} = 0$ B、 $| \vec{B P_{1}} | = | \vec{B P_{2}} |$ C、 $\vec{A B} \cdot \vec{A P_{3}} = \vec{A P_{2}} \cdot \vec{A P_{1}}$ D、点 $P_{1}$ 的坐标为 $(0 ， - 1)$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sin (2 x + 1) ， x < 0 \\ 0 ， x = 0 \\ \cos (2 x - \frac{π}{2} - 1) ， x > 0 \end{array}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是周期函数 B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ 处取得最大值

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12. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 为正方形 $A B C D$ 的中心， $P$ 为棱 $A A_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、点 $P$ 为 $A A_{1}$ 中点时， $P O ⊥ D C_{1}$ B、点 $P$ 与点 $A$ 重合时，三棱锥 $P - B D C_{1}$ 外接球体积为 $\frac{2}{3} π$ C、当 $P$ 点运动时，三棱锥 $P - B D C_{1}$ 外接球的球心总在直线 $A_{1} C$ 上 D、当 $P$ 为 $A A_{1}$ 的中点时，正方体表面到 $P$ 点距离为2的轨迹的总长度为 $(\frac{4}{3} + \sqrt{3}) π$

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三、填空题

13. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} {log}_{3} x - 2 ， x > 0 \\ 2^{x + 3} ， x < 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (- 3)) =$ ．

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14. 若双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ ，则C的离心率为．

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15. 一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和 $n (n \in N^{*})$ 个黑球，现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若 $D (X) = 1$ ，则 $E (X) =$ ．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2$ ，对任意 $k \in N *$ ， $a_{2 k}$ ， $a_{2 k + 1}$ ， $a_{2 k + 2}$ 成等差数列，公差为 $2 k + 1$ ，则 $a_{101} =$ ．

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四、解答题

17. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，sinA＝2sinB.

(1)、若 $b = 2 ， c = 2 \sqrt{7}$ ，求C；

(2)、点D在边AB上，且AD＝ $\frac{1}{3}$ c，证明：CD平分∠ACB.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{n + 2} = k a_{n}$ （ $k \neq 1$ ）， $n \in N^{*}$ ， $a_{2} + a_{3}$ ， $a_{3} + a_{4}$ ， $a_{4} + a_{5}$ 成等差数列．

(1)、求k的值和 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {\begin{matrix} a_{n}^{2} ， n 为奇数 \\ \log_{2} a_{n} ， n 为偶数 \end{matrix}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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19. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形， $P D ⊥$ 底面ABCD， $∠ B A D = ∠ C D A = 90 °$ ， $A D = A B = 1$ ， $C D = 2$ ，E为PA的中点．

(1)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面BCE；

(2)、若二面角P-BC-E的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ ，求三棱锥P-BCE的体积．

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20. 第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为 $\frac{3}{4}$ ；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为 $\frac{4}{5}$ 和 $\frac{5}{8}$ ；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和 $\frac{3}{2} - p$ ，其中 $0 < p < \frac{3}{4}$ ．

(1)、甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；

(2)、若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为 $\frac{29}{72}$ ，求p的值；

(3)、在（2）的条件下，设进入决赛的人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列．

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21. 已知圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦点为 $F (2 ， 0)$ ，长轴长与短轴长的比值为 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求M的方程；

(2)、过点F的直线l与M交于A，B两点，BC⊥x轴于点C，AD⊥x轴于点D，直线BD交直线 $x = 4$ 于点E，求证：点C，A，E三点共线．

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22. 已知函数 $f (x) = a \ln (x + 1) \sin x - \frac{1}{2} (a \in R)$ ，且 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值为 $\frac{2 \ln (\frac{π}{2} + 1) - 1}{2}$ ．

(1)、求实数a的值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 内的零点个数，并加以证明．

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