山东省临沂市2022届高三数学二模考试试卷

试卷更新日期：2022-05-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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2. 设集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 1}$ ， $B = {y | y = 2^{x} ， x \in A}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $[\frac{1}{4} ， 1]$ C、 $[- 2 ， 0)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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3. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， y)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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4. 已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为 $4 \sqrt{5}$ ，实轴长为4，则C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \sqrt{5} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} x$

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5. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (3 ， σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 5) = 0.7$ ，则 $P (1 < ξ < 3) =$ （）

A、0.6 B、0.5 C、0.3 D、0.2

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6. 一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为6200、6300、6500、7100、7500、7600，另两位员工的月工资数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）

A、6800 B、7000 C、7200 D、7400

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7. 已知 $(a x^{2} + 1) {(x - \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中各项系数的和为-3，则该展开式中 $x$ 的系数为（）

A、-120 B、-40 C、40 D、120

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8. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积 $S = \frac{1}{2} \sqrt{{(a b)}^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}}$ ．根据此公式，若 $a \cos B + (b - \sqrt{2} c) \cos A = 0$ ，且 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = \sqrt{2}$ ，则△ABC的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、多选题

9. 对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其线性相关系数的结论正确的是（）

A、 $r_{1} < 0$ B、 $r_{2} > 1$ C、 $r_{1} + r_{2} > 0$ D、 $| r_{1} | > | r_{2} |$

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10. 已知a， $b \in R$ ，则使“ $a + b > 1$ ”成立的一个必要不充分条件是（）

A、 $a^{2} + b^{2} > 1$ B、 $| a | + | b | > 1$ C、 $2^{a} + 2^{b} > 1$ D、 $\frac{4}{a} + \frac{b + 1}{b} > 10$

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11. 如图，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别为左、右顶点， $B_{1}$ ， $B_{2}$ 分别为上、下顶点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为左、右焦点，点P在椭圆C上，则下列条件中能使C的离心率为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的是（）

A、 $| O F_{1} | \cdot | O A_{2} | = {| O B_{1} |}^{2}$ B、 $∠ F_{1} B_{1} A_{2} = 90 °$ C、 $P F_{1} ⊥ x$ 轴，且 $P O // A_{2} B_{1}$ D、四边形 $A_{1} B_{1} A_{2} B_{2}$ 的内切圆过焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$

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12. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是边长为2的正三角形， $A A_{1} = 3$ ，点M在 $B B_{1}$ 上，且 $B M = \frac{1}{2} M B_{1}$ ，P为线段 $C_{1} M$ 上的点，则（）

A、 $C_{1} M ⊥$ 平面 $A M C$ B、当P为 $C_{1} M$ 的中点时，直线AP与平面ABC所成角的正切值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、存在点P，使得 $C P ⊥ A M$ D、存在点P，使得三棱锥 $P - A M C$ 的体积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{4} x ， x > 0 \\ f (x + 3) ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (- 4)$ 的值为．

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14. 已知函数 $f (x) = x + \frac{m x}{e^{x} - 1}$ 是偶函数，则 $m =$ ．

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15. 若圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} ： {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 1$ 的公共弦AB的长为1，则直线 $a^{2} x + 2 b^{2} y + 3 = 0$ 恒过定点M的坐标为．

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16. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图①是一个椭圆球形瓷凳，其轴截面为图②中的实线图形，两段曲线是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ 的一部分，若瓷凳底面圆的直径为4，高为6，则 $a^{2} =$ ；利用祖暅原理可求得该椭圆球形瓷凳的体积为

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{\log_{2} a_{n}}{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + \frac{π}{4}) (A > 0 ， 0 < ω < 1)$ ， $f (\frac{π}{4}) = f (\frac{π}{2})$ ，且 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{3 π}{4})$ 上的最大值为 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{3}$ ，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (\frac{α}{2}) = \frac{1}{2}$ ，求 $\sin 2 α$ 的值．

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19. 如图，AB是圆柱底面圆O的直径， $A A_{1}$ 、 $C C_{1}$ 为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且 $A B = A A_{1} = 2 B C = 2 C D$ ，E、F分别为 $A_{1} D$ 、 $C_{1} C$ 的中点．

(1)、证明：EF $∥$ 平面ABCD；

(2)、求平面OEF与平面 $B C C_{1}$ 夹角的余弦值．

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20. 甲、乙两位同学进行摸球游戏，盒中装有6个大小和质地相同的球，其中有4个白球，2个红球．

(1)、甲、乙先后不放回地各摸出1个球，求两球颜色相同的概率；

(2)、甲、乙两人先后轮流不放回地摸球，每次摸1个球，当摸出第二个红球时游戏结束，或能判断出第二个红球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时甲、乙两人摸球的总次数为X，求X的分布列和期望．

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21. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{2} \sin x$ ．

(1)、若存在 $x \in [\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ ，使 $f (x)$ ≤ $a x$ 成立，求a的取值范围；

(2)、若 $g (x) = f (x) - m \ln x$ ，存在 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，且当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时， $g (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求证： $x_{1} x_{2} < 4 m^{2}$ ．

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22. 已知抛物线 $H ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5， $O$ 为坐标原点， $\cos ∠ O F M = - \frac{2}{3}$ ．

(1)、求抛物线H的方程；

(2)、若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线 $x = - 1$ 上的动点．
①求证： $∠ A C B \leq \frac{π}{2}$ ．

②是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形?若存在，求点C的坐标；若不存在，说明理由，

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