山东省济南市2022届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2022-05-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $a \in R$ ， $i$ 是虚数单位，若复数 $z = a^{2} - 1 + (a + 1) i$ 为纯虚数，则 $a =$ （）

A、0 B、1或-1 C、-1 D、1

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2. 已知集合 $A = {1 ， 2}$ ， $B = {2 ， 4}$ ， $C = {z | z = x^{y} ， x \in A ， y \in B}$ ，则C中元素的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. “ $a = 3$ ”是“直线 $a x + y - 3 = 0$ 与 $3 x + (a - 2) y + 4 = 0$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x} - 1 ， x \leq 0 ， \\ x^{\frac{1}{2}} ， x > 0 ， \end{matrix}$ 若 $f (m) = 3$ ，则m的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、9 D、2或9

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5. $(2 + x) {(x + \frac{1}{x})}^{4}$ 的展开式中，常数项为（）

A、2 B、6 C、8 D、12

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6. 济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2， $\overset{⌢}{A C}$ 和 $\overset{⌢}{B C}$ 所在圆的圆心都在线段AB上，若 $∠ A C B = θ rad$ ， $| A C | = b$ ，则 $\overset{⌢}{A C}$ 的长度为（）

A、 $\frac{θ b}{2 \sin \frac{θ}{2}}$ B、 $\frac{θ b}{2 \cos \frac{θ}{2}}$ C、 $\frac{θ b}{\sin \frac{θ}{2}}$ D、 $\frac{2 θ b}{\cos \frac{θ}{2}}$

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7. 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，E为线段AD上一点，若 $△ A B E$ 与 $△ A C D$ 的面积相等，则 $\vec{B E} \cdot \vec{A C}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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8. 已知数列 $\frac{1}{1}$ ， $\frac{2}{1}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{3}{1}$ ， $\frac{2}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{4}{1}$ ， $\frac{3}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，…，其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推.此数列第n项记为 $a_{n}$ ，则满足 $a_{n} = 5$ 且 $n \geq 20$ 的n的最小值为（）

A、47 B、48 C、57 D、58

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二、多选题

9. 袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球.记事件A=“第一次抽到的是白球”，事件B=“第二次抽到的是白球”，则（）

A、事件A与事件B互斥 B、事件A与事件B相互独立 C、 $P (B) = \frac{2}{3}$ D、 $P (A | B) = \frac{1}{2}$

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10. 下列不等关系中一定成立的是（）

A、 $\log_{3} 2 < \log_{2} 3$ B、 ${(\frac{1}{5})}^{\frac{2}{5}} < {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{5}}$ C、 ${(1 + n)}^{\frac{1}{2}} < 1 + \frac{n}{2}$ ， $n \in N_{+}$ D、 $2^{n} > n^{2}$ ， $n \in N_{+}$

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11. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 焦点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），M为线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是（）

A、 $| A B |$ 的最小值为4 B、 $N F ⊥ A B$ C、△NAB面积的最小值为6 D、若直线AB的斜率为 $\sqrt{3}$ ，则 $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$

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12. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，G分别为线段 $C C_{1}$ ，CD，CB上的动点（E，F，G均不与点C重合），则下列说法正确的是（）

A、存在点E，F，G，使得 $A_{1} E ⊥$ 平面EFG B、存在点E，F，G，使得 $∠ F E G + ∠ E F C + ∠ E G C = π$ C、当 $A_{1} C ⊥$ 平面EFG时，三棱锥 $A_{1} - E F G$ 与C-EFG体积之和的最大值为 $\frac{1}{2}$ D、记CE，CF，CG与平面EFG所成的角分别为 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，则 $\sin^{2} α + \sin^{2} β + \sin^{2} γ = 1$

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三、填空题

13. 2022年4月24日是第七个“中国航天日”，今年的主题是“航天点亮梦想”.某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数 $m (1 \leq m \leq 10)$ 的值可以是（写出一个满足条件的m值即可）.

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14. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点，点P在双曲线上，若 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $∠ P F_{1} F_{2} = 30^{\circ}$ ，则双曲线的离心率为.

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15. 在高为2的直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，AB⊥AC，若该直三棱柱存在内切球，则底面△ABC周长的最小值为.

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16. 已知函数 $f (x) = | \ln x | + a x + \frac{a}{x} (a > 0)$ ，则函数 $f (x)$ 的最小值为；若关于x的方程 $e^{x} + e^{- x} - | \frac{\ln a - \ln x}{a} | - \frac{a}{x} = 0$ 有且仅有一个实根，则实数a的取值范围是.

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四、解答题

17. 从某企业的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求这100件产品质量指标值的样本平均数 $\bar{x}$ （同一组数据用该区间的中点值作代表）；

(2)、已知某用户从该企业购买了3件该产品，用X表示这3件产品中质量指标值位于 $[35 ， 45]$ 内的产品件数，用频率代替概率，求X的分布列.

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18. 已知 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $A + C = 2 B$ ， $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} a$ .

(1)、求边c；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求a的取值范围.

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19. 在底面为正三角形的三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面ABC⊥平面 $B C C_{1} B_{1}$ ， $∠ C B B_{1} = 60 °$ ， $A A_{1} = 2 A B = 4$ .

(1)、证明： $B_{1} C ⊥ A_{1} C_{1}$ ；

(2)、求二面角 $C - A B - A_{1}$ 的余弦值.

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20. 已知 ${a_{n}}$ 是递增的等差数列， $a_{1} + a_{5} = 18$ ， $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{9}$ 分别为等比数列 ${b_{n}}$ 的前三项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、删去数列 ${b_{n}}$ 中的第 $a_{i}$ 项（其中 $i = 1 ， 2 ， 3 ， \dots$ ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列 ${c_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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21. 已知椭圆C的焦点坐标为 $F_{1} (- 1 ， 0)$ 和 $F_{2} (1 ， 0)$ ，且椭圆经过点 $G (1 ， \frac{3}{2})$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若 $T (1 ， 1)$ ，椭圆C上四点M，N，P，Q满足 $\vec{M T} = 3 \vec{T Q}$ ， $\vec{N T} = 3 \vec{T P}$ ，求直线MN的斜率.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{a x} - a$ ， $a > 0$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线在y轴上的截距为 $- 1$ ，求a的值；

(2)、是否存在实数t，使得有且仅有一个实数a，当 $x > 0$ 时，不等式 $f (x) \geq t x$ 恒成立？若存在，求出t，a的值；若不存在，说明理由.

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