山东省菏泽市2022届高三数学二模考试试卷

试卷更新日期：2022-05-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} \geq 1}$ ， $B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | x > - 1}$ B、 ${x | x \geq 1}$ C、 ${x | - 1 < x < 1}$ D、 ${x | 1 \leq x < 2}$

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2. 已知复数z满足 $z \cdot {(1 + i)}^{2} = {(1 - a i)}^{2} (a \in R)$ ，则z为实数的一个充分条件是（）

A、 $a = 0$ B、 $a = 1$ C、 $a = \sqrt{2}$ D、 $a = 2$

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3. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的一条渐近线方程为 $3 x + 2 y = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、E的焦点到渐近线的距离为2 B、 $m = 6$ C、E的实轴长为6 D、E的离心率为 $\frac{\sqrt{13}}{2}$

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4. 民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径 $A B = 16 cm$ ，圆柱体部分的高 $B C = 8 cm$ ，圆锥体部分的高 $C D = 6 cm$ ，则这个陀螺的表面积是（）

A、 $192 π c m^{2}$ B、 $252 π c m^{2}$ C、 $272 π c m^{2}$ D、 $336 π c m^{2}$

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5. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 函数 $f (x) = \frac{5 \sin x}{e^{| x |}} + x \cos x$ 在 $[- 2 π ， 2 π]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且对任意的m， $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{m + n} = a_{m} + a_{n} + 1$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a_{n + 1} - a_{n}$ 的值随n的变化而变化 B、 $a_{5} a_{6} = a_{1} a_{10}$ C、若 $m + n = 2 p$ ，则 $a_{m} + a_{n} = a_{2 p}$ D、 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为递增数列

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8. 直线 $y = 1$ 与函数 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象在y轴右侧交点的横坐标从左到右依次为 $a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x - \frac{π}{3}) = - 2 \cos 2 x$ B、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{5 π}{12}]$ 上是减函数 C、 $a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{n}$ 为等差数列 D、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{12} = 34 π$

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二、多选题

9. 设离散型随机变量X的分布列为

X

0

1

2

3

4

P

q

0.4

0.1

0.2

0.2

若离散型随机变量Y满足： $Y = 2 X + 1$ ，则下列结果正确的有（）

A、 $q = 0.1$ B、 $E (X) = 2$ C、 $E (Y) = 5$ D、 $D (X) = 1.4$

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10. 设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为 $A (a ， b) = \frac{a + b}{2}$ ，几何平均数为 $G (a ， b) = \sqrt{a b}$ ．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即 $L_{p} (a ， b) = \frac{a^{p} + b^{p}}{a^{p - 1} + b^{p - 1}}$ ，其中p为有理数．下列结论正确的是（）

A、 $L_{0.5} (a ， b) \leq L_{1} (a ， b)$ B、 $L_{0} (a ， b) \leq G (a ， b)$ C、 $L_{2} (a ， b) \leq A (a ， b)$ D、 $L_{n + 1} (a ， b) \leq L_{n} (a ， b)$

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11. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $x = m (- \sqrt{2} < m < \sqrt{2})$ 与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（）

A、若直线CA的斜率为 $k_{1}$ ，BD的斜率 $k_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2} = - \frac{1}{2}$ B、存在唯一的实数m使得 $△ A F_{1} F_{2}$ 为等腰直角三角形 C、 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}}$ 取值范围为 $(- 1 ， 1)$ D、 $△ A B F_{1}$ 周长的最大值为 $4 \sqrt{2}$

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12. 将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（）

A、存在某个位置，使直线BD与平面ABC所成的角为45° B、当二面角 $D - A C - B$ 为 $\frac{2 π}{3}$ 时，三棱锥 $D - A B C$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、当平面ACD⊥平面ABC时，异面直线AB与CD的夹角为60° D、O为AC的中点，当二面角 $D - A O - B$ 为 $\frac{2 π}{3}$ 时，三棱锥 $A - O B D$ 外接球的表面积为 $10 π$

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三、填空题

13. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 8$ 内有一点 $P (- 1 ， 2)$ ，AB为过点P且倾斜角为 $135^{\circ}$ 的弦，则 $| A B | =$ ．

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14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $f (x)$ 的解析式．
① $f (x y) = f (x) f (y)$ ；② $f^{'} (x)$ 是偶函数；③ $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增．

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15. 已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且 $| A B | = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B C}$ 的最小值为．

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16. 定义 $‖ x ‖ (x \in R)$ 为与x距离最近的整数，令函数 $G (x) = ‖ x ‖$ ，如： $G (\frac{4}{3}) = 1$ ， $G (2) = 2$ ．则 $\frac{1}{G (1)} + \frac{1}{G (\sqrt{2})} + \frac{1}{G (\sqrt{3})} + \frac{1}{G (\sqrt{4})} =$ ； $\frac{1}{G (1)} + \frac{1}{G (\sqrt{2})} + \dots + \frac{1}{G (\sqrt{2022})} =$ ．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a = 5$ ， $b = 6$ ．

(1)、若 $\cos B = - \frac{4}{5}$ ，求A；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{15 \sqrt{7}}{4}$ ，求c．

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18. 为了培养孩子的终身锻炼习惯，小明与小红的父亲与他们约定周一到周日每天的锻炼时间不能比前一天少．为了监督两人锻炼的情况，父亲记录了他们某周内每天的锻炼时间（单位：min），如下表所示，其中小明周日的锻炼时间a忘了记录，但知道

36 \leq a \leq 60

，

a \in Z

．

	周一	周二	周三	周四	周五	周六	周日
序号x	1	2	3	4	5	6	7
小明的锻炼时间y/min	16	20	20	25	30	36	a
小红的锻炼时间z/min	16	22	25	26	32	35	35

参考公式：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为

$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

参考数据： $1 \times 16 + 2 \times 20 + 3 \times 20 + 4 \times 25 + 5 \times 30 + 6 \times 36 = 582$ ； $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} = 91$ ．

(1)、求这一周内小明锻炼的总时间不少于小红锻炼的总时间的概率；

(2)、根据小明这一周前6天的锻炼时间，求其锻炼时间y关于序号x的线性回归方程，并估计小明周日锻炼时间a的值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{1} = 1$ ，它的前n项和 $S_{n}$ 满足 $2 S_{n} + a_{n + 1} = 2^{n + 1} - 1$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n} - \frac{2^{n}}{3}}$ 为等比数列；

(2)、求 $S_{1} + S_{2} + S_{3} + \dots + S_{2 n}$ ．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为2的正方形， $∠ A P D = \frac{π}{2}$ ， $P B = P C$ ， $∠ A B P = ∠ D C P$ ， $△ P B C$ 的面积是 $△ P A D$ 的面积的 $\sqrt{5}$ 倍．

(1)、证明：平面PAD⊥平面ABCD；

(2)、若E为BC的中点，F为线段PE上的任意一点，当DF与平面PBC所成角的正弦值最大时，求平面FAD与平面ABCD所成角的正切值．

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21. 已知抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，O为坐标原点，抛物线E上不同的两点M，N只能同时满足下列三个条件中的两个：

① $| F M | + | F N | = | M N |$ ；② $| O M | = | O N | = | M N | = 8 \sqrt{3}$ ；③直线MN的方程为 $x = 6 p$ ．

(1)、问M，N两点只能满足哪两个条件（只写出序号，无需说明理由）？并求出抛物线E的标准方程；

(2)、如图，过F的直线与抛物线E交于A，B两点，过A点的直线l与抛物线E的另一交点为C，与x轴的交点为D，且 $| F A | = | F D |$ ，求三角形ABC面积的最小值．

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22. 设函数 $f (x) = x^{2} + 2 x - k (x + 1) \ln (x + 1)$ ．

(1)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求k的最大值；

(2)、设数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + {(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{n} (n \in N^{*})$ ，证明： $a_{2 n - 1} > \ln 2 + \frac{1}{4 n}$ ．

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X	0	1	2	3	4
P	q	0.4	0.1	0.2	0.2