山东省滨州市2022届高三数学二模考试试卷

试卷更新日期：2022-05-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {x \in N ∣ - 2 < x < 4}$ ， $A = {0 ， 1}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${- 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 2 ， 3}$ C、 ${2 ， 3 ， 4}$ D、 ${2 ， 3}$

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2. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设直线 $B D_{1}$ 与直线AD所成的角为 $α$ ，直线 $B D_{1}$ 与平面 $C D D_{1} C_{1}$ 所成的角为 $β$ ，则 $α + β =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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3. 设随机变量 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则“ $μ \geq 1$ ”是“ $P (X < 2) < \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 单调递减，且为偶函数．若 $f (2) = - 1$ ，则满足 $f (x - 3) \geq - 1$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， 5]$ B、 $[1 ， 3]$ C、 $[3 ， 5]$ D、 $[- 2 ， 2]$

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5. 在 $△ A B C$ 中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若 $\vec{A N} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ （ $λ$ ， $μ \in R$ ），则 $λ + μ$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{1}{3}]$ B、 $[\frac{1}{3} ， \frac{1}{2}]$ C、 $[0 ， 1]$ D、 $[1 ， 2]$

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6. 已知直线 $l ： (m^{2} + m + 1) x + (3 - 2 m) y - 2 m^{2} - 5 = 0$ ，圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ ，则直线l与圆C的位置关系是（）

A、相离 B、相切 C、相交 D、不确定

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7. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0 ， | ϕ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，现将函数 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图像，则 $g (x)$ 的表达式可以为（）

A、 $g (x) = 2 s i n (x + \frac{π}{3})$ B、 $g (x) = 2 c o s (x - \frac{π}{3})$ C、 $g (x) = 2 s i n (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$ D、 $g (x) = 2 c o s (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3})$

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8. 已知椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 有相同的左、右焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 在第一象限内的交点为P，且满足 $∠ P O F_{2} = 2 ∠ P F_{1} F_{2}$ ，设 $e_{1}$ ， $e_{2}$ 分别是 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的离心率，则 $e_{1}$ ， $e_{2}$ 的关系是（）

A、 $e_{1} e_{2} = 2$ B、 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = 2$ C、 $e_{1}^{2} + e_{1} e_{2} + e_{2}^{2} = 2$ D、 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = 2 e_{1}^{2} e_{2}^{2}$

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二、多选题

9. 欧拉公式 $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ （本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（）

A、复数 $e^{i \frac{π}{2}}$ 为纯虚数 B、复数 $e^{i 2}$ 对应的点位于第二象限 C、复数 $e^{i \frac{π}{3}}$ 的共轭复数为 $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$ D、复数 $e^{i θ} (θ \in R)$ 在复平面内对应的点的轨迹是圆

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10. 若实数a，b满足 $\ln b < \ln a < 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $\log_{a} 3 < \log_{b} 3$ D、 $a^{b} > b^{a}$

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11. 设函数 $f (x) = | \cos x | + \cos 2 x$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{2 π}{3}]$ 单调递减 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 D、 $f (x)$ 的值城为 $[- 1 ， 2]$

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12. 在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把 $△ A E B$ ， $△ A F D$ 和 $△ E F C$ 折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥 $P - A E F$ ，如图2所示，则下列结论中正确的是（）

A、 $P A ⊥ E F$ B、三棱锥 $M - A E F$ 的体积为4 C、三棱锥 $P - A E F$ 外接球的表面积为 $24 π$ D、过点M的平面截三棱锥 $P - A E F$ 的外接球所得截面的面积的取值范围为 $[π ， 6 π]$

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三、填空题

13. $\log_{2} \sin 15 ° - \log_{\frac{1}{2}} \cos 345 ° =$ ．

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14. 某社区对在抗击疫情工作中表现突出的3位医生、2位护士和1位社区工作人员进行表彰并合影留念．现将这6人随机排成一排，则3位医生中有且只有2位相邻的概率为．

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15. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a + c = 4$ ，且 $\sin A$ ， $\sin B$ ， $\sin C$ 成等差数列，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为．

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16. 某资料室在计算机使用中，出现如表所示的以一定规则排列的编码，表中的编码从左至右以及从上至下都是无限的，此表中，主对角线上的数字构成的数列1，2，5，10，17，…的通项公式为，编码99共出现次．

1	1	1	1	1	1	…
1	2	3	4	5	6	…
1	3	5	7	9	11	…
1	4	7	10	13	16	…
1	5	9	13	17	21	…
1	6	11	16	21	26	…
…	…	…	…	…	…	…

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四、解答题

17. 锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} b \cos C = 2 a \sin A - \sqrt{3} c \cos B$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $b = 2$ ，D为AB的中点，求CD的取值范围．

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18. 新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企随机调查了今年3月份购买本车企生产的汽车的100位车主，经统计其购车种类与性别情况如下表：

单位：人

	购置新能源汽车	购置传统燃油汽车	总计
男性	50	10	60
女性	25	15	40
总计	75	25	100

附： $x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

$α = P (χ^{2} \geq k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、根据表中数据，在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，是否可以认为购车种类与性别有关；

(2)、用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年3月份售出的汽车中，随机抽取3辆汽车，设被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X，求X的分布列及数学期望．

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19. 已知公差为d的等差数列 ${a_{n}}$ 和公比 $q < 0$ 的等比数列 ${b_{n}}$ 中， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{2} + b_{3} = 3$ ， $a_{3} + b_{2} = 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = 3^{a_{n}} \cdot b_{n}^{2} (n \in N^{*})$ ，抽去数列 ${c_{n}}$ 的第3项、第6项、第9项、……、第3n项、……余下的项的顺序不变，构成一个新数列 ${t_{n}}$ ，求数列 ${t_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A D ∥ B C$ ， $B C = 2 A B = 2 A D = 6 \sqrt{2}$ ，E是PB上一点，且 $P B = 3 P E$ ．

(1)、求证： $P D ∥$ 平面 $A E C$ ；

(2)、已知平面 $A E C ⊥$ 平面 $P B C$ ，求二面角 $A - C E - D$ 的余弦值．

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21. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 在点 $M (1 ， y_{0})$ 处的切线斜率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若抛物线C上存在不同的两点关于直线 $l ： y = 2 x + m$ 对称，求实数m的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = x - \ln x$ ．

(1)、若对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) \geq m x - 1$ 恒成立，求实数m的取值范围；

(2)、设函数 $h (x) = f (x) + (2 - x) e^{x}$ 在 $(\frac{1}{2} ， 1)$ 上的最小值为a，求证： $(a - 3) (a - 4) < 0$ ．

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1	1	1	1	1	1	…
1	2	3	4	5	6	…
1	3	5	7	9	11	…
1	4	7	10	13	16	…
1	5	9	13	17	21	…
1	6	11	16	21	26	…
…	…	…	…	…	…	…

1	1	1	1	1	1	…
1	2	3	4	5	6	…
1	3	5	7	9	11	…
1	4	7	10	13	16	…
1	5	9	13	17	21	…
1	6	11	16	21	26	…
…	…	…	…	…	…	…

1	1	1	1	1	1	…
1	2	3	4	5	6	…
1	3	5	7	9	11	…
1	4	7	10	13	16	…
1	5	9	13	17	21	…
1	6	11	16	21	26	…
…	…	…	…	…	…	…