内蒙古呼和浩特市2022届高三理数第二次质量数据监测试卷

试卷更新日期：2022-05-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | x > 1}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x - 4 \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1 ， 4]$ B、 $[1 ， 4]$ C、 $[- 4 ， 1)$ D、 $[- 1 ， 4]$

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2. 复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $(1 ， - 3)$ ，则 $\frac{10}{z} =$ （）

A、 $1 + 3 i$ B、 $- 1 - 3 i$ C、 $1 - 3 i$ D、 $3 + i$

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3. $\sin \frac{94}{3} π =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4. 已知命题 $p$ ：幂函数 $y = x^{- 2}$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增；命题 $q$ ：若函数 $f (x + 1)$ 为偶函数，则 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称．则下列命题为假命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $\neg p \lor q$ C、 $(\neg p) \land (\neg q)$ D、 $p \lor (\neg q)$

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5. 图形是信息传播、互通的重要的视觉语言，《画法几何》是法国著名数学家蒙日的数学巨著，该书在投影的基础上，用“三视图”来表示三维空间中立体图形．即做几何体的“三视图”，需要分别从几何体正面、左面、上面三个不同角度观察，从正投影的角度作图．下图中粗实线画出的是某三棱锥的三视图，且网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的最长的一条侧棱长为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6}$

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6. 非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{c})$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ， $| \vec{a} | = 3$ ，则 $\vec{c}$ 在 $\vec{b}$ 上的正射影的数量为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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7. 如图所示程序框图，其输出值 $S =$ （）

A、24 B、25 C、26 D、27

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8. 将函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{2 π}{3})$ 的图象向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位后得到的函数图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{8}$

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9. 直线l： $y = k x + 1 - 2 k$ 与函数 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 的图象有两个公共点，则k的取值范围为（）

A、 $k > \frac{1}{3}$ B、 $0 < k < 3$ C、 $0 < k \leq \frac{1}{3}$ D、 $- 3 \leq k < 0$

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10. 已知点F为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使直线 $P F$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相切，则双曲线离心率的取值范围是（）

A、 $(1， \sqrt{2})$ B、 $(\sqrt{2} ， + \infty)$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， + \infty)$

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11. 若过点 $P (- 1 ， m)$ 可以作三条直线与曲线C： $y = x e^{x}$ 相切，则m的取值范围是（）

A、 $(- \frac{3}{e^{2}} ， + \infty)$ B、 $(- \frac{1}{e} ， 0)$ C、 $(- \frac{1}{e} ， - \frac{1}{e^{2}})$ D、 $(- \frac{3}{e^{2}} ， - \frac{1}{e})$

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12. 在一个含有底面的半球形容器内放置三个两两外切的小球，若这三个小球的半径均为3，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径 $R =$ （）

A、 $\sqrt{21} + 3$ B、 $3 \sqrt{2} + 3$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{21} - 3$

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二、填空题

13. 3月12日是植树节，某地组织青年志愿者进行植树活动，植树的树种及其数量的折线图，如图所示．后期，该地区农业局根据树种采用分层抽样的方法抽取150棵树，请专业人士查看树种的成活情况，则被抽取的梧桐树的棵数为．

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14. 如图所示，在平面四边形ABCD中，若 $A D = \sqrt{2}$ ， $C D = 2$ ， $∠ D = \frac{3}{4} π$ ， $\cos B = \frac{3}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为．

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15. 设随机变量X服从正态分布 $N (2 ， σ^{2})$ ，若 $P (X < 4 - a) = 0.4$ ，则 $P (X < a) =$ ．

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16. 已知函数 $y = f (x)$ 是R上的奇函数，对任意 $x \in R$ ，都有 $f (2 - x) = f (x) + f (2)$ 成立，当 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [0 ， 1]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，有下列命题：
① $f (2) + f (3) + \cdot \cdot \cdot + f (2022) = 0$ ；

②点 $(2022 ， 0)$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一个对称中心；

③函数 $y = f (x)$ 在 $[- 2022 ， 2022]$ 上有2023个零点；

④函数 $y = f (x)$ 在 $[7 ， 9]$ 上为减函数；

则正确结论的序号为．

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三、解答题

17. 从① $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} = 2^{n + 1} - 2$ ，② $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ，这两个条件中选择一个补充到下面问题中，并完成解答．
问题：已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且______， ${b_{n}}$ 为等差数列， $b_{1} = 1$ ， $b_{2}$ ， $a_{2}$ ， $b_{6}$ 成等差数列．

(1)、写出所选条件的序号，并求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{1}{(b_{n} + 1) \log_{2} a_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，本届冬奥会的关注度已经超越了以往历届冬奥会．北京冬奥会国家速滑馆（“冰丝带”）承办了本届奥运会的部分冰上项目比赛．速度滑冰、冰球、花样滑冰项目中，运动员在冰面上急转急停时，冰刀会对冰面造成损伤，因此为给运动员们提供及时优质的冰面保障，每个比赛曰都需要及时补冰．已知，场馆室内温度的变化对于补冰量具有一定的影响，在赛事举办期间随机挑选五天，对场馆室内温度与补冰量进行测量，得到如下相关数据表：

比赛日编号	1	2	3	4	5
场馆室内温度x（单位：℃）	10	11	13	12	8
补冰量y（单位：L）	23	25	30	26	16

附：样本 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ， n)$ 的最小二乘法估计公式为

$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

(1)、从这5个比赛日中任选2天，记这2个比赛日补冰量分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率；

(2)、利用编号为2，3，4的3组相关数据，建立y关于x的线性回归方程，根据此回归方程，求场馆室内温度为10℃时的补冰量的估计值，并计算该估计值与测量值之差的绝对值．

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19. 如图，在三棱柱 $A^{'} B^{'} C^{'} - A B C$ 中，侧棱 $A A^{'} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B = A C$ ， $B C = \sqrt{2} A A^{'}$ ，D、E分别是 $B C$ ， $B B^{'}$ 的中点．

(1)、证明：平面 $A C^{'} D ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、已知 $A A^{'} = \sqrt{2}$ ，求直线 $A A^{'}$ 与平面 $A D E$ 所成角的正弦值．

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20. 拋物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l： $x = 2$ 交C于P，Q两点，且 $O P ⊥ O Q$ ．已知点M的坐标为 $(4 ， 0)$ ， $⊙ M$ 与直线l相切．

(1)、求抛物线C和 $⊙ M$ 的标准方程；

(2)、已知点 $N (8 ， 4)$ ，点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 是C上的两个点，且直线 $N A_{1}$ ， $N A_{2}$ 均与 $⊙ M$ 相切．判断直线 $A_{1} A_{2}$ 与 $⊙ M$ 的位置关系，并说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = (a + 1) \ln x + \frac{a + 2}{x} + x$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{1}{e^{x}} + \frac{1}{x}$ ，证明：当 $a = 0$ 时， $f (x) > g (x)$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{2} (cos φ + sin φ) \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} (cos φ - sin φ) \end{array}$ （ $φ$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线 $l$ 的极坐标方程为 $2 ρ \cos θ + 3 ρ \sin θ - 10 = 0$ .

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、求曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 距离的最小值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 1 - x | + 2 | x + 2 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 9$ 的解集；

(2)、令 $f (x)$ 的最小值为 $m$ .若正实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = m$ ，求证： $a + b + c \geq 12$ .

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