辽宁省辽阳市2022届高考数学二模试卷

试卷更新日期：2022-05-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > - 5}$ ， $B = {x | \sqrt{x} < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 5 < x < 1}$ B、 ${x | x > - 5}$ C、 ${x | 0 \leq x < 1}$ D、 ${x | 0 < x < 1}$

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2. 下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（）

A、 $y^{2} = - 10 x$ B、 $x^{2} = - 10 y$ C、 $y^{2} = - 5 x$ D、 $x^{2} = - 5 y$

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3. 为了解某地高三学生的期末语文考试成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，已知不低于90分为及格，则这100名学生期末语文成绩的及格率为（）

A、40% B、50% C、60% D、65%

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4. 函数 $f (x) = x \lg (x^{2} + 1) + 2 x$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P A = A B$ ， $A D = 3 A B$ ，则 $P C$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正切值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、3 C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\sqrt{10}$

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6. 如图，已知 $A$ ， $B$ 两地相距600m，在 $A$ 地听到炮弹爆炸声比在 $B$ 地早1s，且声速为340m/s..以线段 $A B$ 的中点为坐标原点， $\vec{A B}$ 的方向为 $x$ 轴的正方向建立平面直角坐标系 $x O y$ ，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{28900} - \frac{y^{2}}{61000} = 1 (x < 0)$ B、 $\frac{x^{2}}{28900} - \frac{y^{2}}{61100} = 1 (x < 0)$ C、 $\frac{x^{2}}{28900} - \frac{y^{2}}{61000} = 1 (x > 0)$ D、 $\frac{x^{2}}{28900} - \frac{y^{2}}{61100} = 1 (x > 0)$

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7. 设函数 $f (x) = x \sin x + \cos x$ ，则下列不是函数 $f (x)$ 极大值点的是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{5 π}{2}$ C、 $- \frac{π}{2}$ D、 $- \frac{3 π}{2}$

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8. 区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有 $2^{512}$ 种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行 $2^{512}$ 次运算.现在有一台计算机，每秒能进行 $2.5 \times 10^{14}$ 次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据 $lg 2 \approx 0.3$ ， $\sqrt[5]{10} \approx 1.58$ ）（）

A、 $3.16 \times 10^{139} s$ B、 $1.58 \times 10^{139} s$ C、 $1.58 \times 10^{140} s$ D、 $3.16 \times 10^{140} s$

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二、多选题

9. 已知复数 $z_{1} = 1 - 3 i$ ， $z_{2} = 3 + i$ ，则（）

A、 $| z_{1} + z_{2} | = 6$ B、 $\bar{z_{1}} - z_{2} = - 2 + 2 i$ C、 $z_{1} z_{2} = 6 - 8 i$ D、 $z_{1} z_{2}$ 在复平面内对应的点位于第四象限

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10. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $2 a + b = 4$ ，则（）

A、 $2^{a - b} > \frac{1}{4}$ B、 ${log}_{2} a + {log}_{2} b \leq 1$ C、 $\sqrt{2 a} + \sqrt{b} \geq 2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{4}{a} + \frac{1}{2 b} \geq \frac{25}{8}$

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11. 已知 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = sin (ω x - \frac{π}{6})$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增，且对任意 $x \in [\frac{π}{8} ， \frac{π}{4}]$ ，都有 $f (x) \geq 0$ ，则 $ω$ 的取值可以为（）

A、1 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、2

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E为线段 $B_{1} D_{1}$ 上的动点，则（）

A、直线DE与直线AC所成角为定值 B、点E到直线AB的距离为定值 C、三棱锥 $E - A_{1} B D$ 的体积为定值 D、三棱锥 $E - A_{1} B D$ 外接球的体积为定值

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三、填空题

13. 若点 $P$ ， $Q$ 分别圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $D$ ： ${(x - 7)}^{2} + y^{2} = 4$ 上一点，则 $| P Q |$ 的最小值为.

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14. 某话剧社计划不在今年7月1日演出一部红色话剧，导演已经选好了该话剧的9个角色的演员，还有4个角色的演员待定，导演要从8名男话剧演员中选3名，从5名女话剧演员中选1名，则导演的不同选择共有种.

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15. 已知向量 $\vec{O A} = (\sin (α + \frac{π}{4}) ， 6)$ ， $\vec{O B} = (\sin (α + \frac{3 π}{4}) ， 1)$ ， $\vec{O A} // \vec{O B}$ ，则 $\tan 2 α =$ .

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16. “物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过4200的正整数中，所有满足条件的数的和为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\cos B = \frac{a}{c} - \frac{b}{2 c}$ ．

(1)、求C；

(2)、若 $c = 2 a$ ，求 $\sin B$ ．

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18. ① ${2^{n} a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{3} = \frac{5}{8}$ ；② ${\frac{a_{n}}{2 n - 1}}$ 为等比数列，且 $a_{2} = \frac{3}{4}$ .从①②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，________.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，试问是否存在正整数p，q，r，使得 $S_{n} = p - q a_{n + r}$ ？若存在，求p，q，r的值；若不存在，说明理由.

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19. 某大学为了鼓励大学生自主创业，举办了“校园创业知识竞赛”，该竞赛决赛局有 $A$ 、 $B$ 两类知识竞答挑战，规则为进入决赛的选手要先从 $A$ 、 $B$ 两类知识中选择一类进行挑战，挑战成功才有对剩下的一类知识挑战的机会，挑战失败则竞赛结束，第二类挑战结束后，无论结果如何，竞赛都结束. $A$ 、 $B$ 两类知识挑战成功分别可获得 $2$ 万元和5万元创业奖金，第一类挑战失败，可得到2000元激励奖金.已知甲同学成功晋级决赛，面对 $A$ 、 $B$ 两类知识的挑战成功率分别为0.6、0.4，且挑战是否成功与挑战次序无关.

(1)、若记 $X$ 为甲同学优先挑战 $A$ 类知识所获奖金的累计总额（单位：元），写出 $X$ 的分布列；

(2)、为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，请帮甲同学制定挑战方案，并给出理由.

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20. 如图，在四棱锥 $O - A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 的中点， $△ O A D$ 是等边三角形，底面 $A B C D$ 为菱形， $A D = 2$ ， $∠ D A B = 60 °$

(1)、若 $O B = \sqrt{6}$ ，证明：平面 $O D E ⊥$ 平面 $O A D$ .

(2)、若二面角 $O - A D - B$ 的大小为 $120 °$ ，求二面角 $A - B D - O$ 的余弦值

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21. 已知椭圆 $T$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- c ， 0)$ ，上顶点为 $P$ .直线 $P F$ 与椭圆 $T$ 交于另一点 $Q$ ，且 $| P F | = 7 | F Q |$ ，点 $E (\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ 在椭圆 $T$ 上.

(1)、求椭圆 $T$ 的方程.

(2)、过点 $M (0 ， 2)$ ，且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $T$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $A^{'}$ ，作 $M N ⊥ A^{'} B$ ，垂足为 $N$ .是否存在定点 $R$ ，使得 $| N R |$ 为定值？若存在，求出定点 $R$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - a x - (x - 1) \ln x$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $2 x + y - 1 = 0$ 垂直.

(1)、求 $a$ 的值.

(2)、证明：当 $x \in (1 ， + \infty)$ 时， $f (x) > a$ .

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