辽宁省辽南协作体2021-2022学年高三下学期数学第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2022-05-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {x | 0 < x < 10 ， x \in Z}$ ， $A = {1 ， 3 ， 5 ， 7}$ ， $B = {1 ， 4 ， 6 ， 7 ， 8}$ 则 $A \cap (∁_{U} B)$ 是（）

A、 ${2 ， 3 ， 5}$ B、 ${3 ， 5 ， 7}$ C、 ${3 ， 5}$ D、 ${2 ， 5}$

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2. 若复数z满足 $z \cdot (1 + i) = 2 - i$ ，其中i为虚数单位，则 $z =$ （）

A、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ C、 $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$

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3. 已知直线 $l ： a x + y + a = 0$ ，直线 $m ： x + a y + a = 0$ ，则 $l ∥ m$ 的充要条件是（）

A、 $a = - 1$ B、 $a = 1$ C、 $a = \pm 1$ D、 $a = 0$

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4. 已知 $a = \ln \frac{1}{π}$ ， $b = e^{\frac{1}{3}}$ ， $c = \log_{π} 3$ ，则 $a, b, c$ 大小顺序为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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5. 在北京时间2022年2月6日举行的女足亚洲杯决赛中，中国女足面对上半场0-2落后的劣势，发扬永不言弃的拼搏精神，最终强势逆转，时隔16年再夺亚洲杯冠军！足球比赛中点球射门是队员练习的必修课．已知某足球队员在进行点球射门时命中率为87%，由于惯用脚的原因，他踢向球门左侧的概率为70%，踢向球门右侧的概率为30%．经统计，当他踢向球门左侧时，球进的概率为90%，那么他踢向球门右侧时，球进的概率为（）

A、87% B、84% C、81% D、80%

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6. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，直线 $l$ 过双曲线的右焦点且斜率为 $\frac{a}{b}$ ，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的两条渐近线分别交于 $M$ 、 $N$ 两点（ $M$ 点在 $x$ 轴的上方），且 $\frac{| O M |}{| O N |} = 2$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{2}{3} \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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7. 重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式．九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：
“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；

“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；

“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（）

A、108 B、36 C、9 D、6

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8. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $\sin (a_{3} - 1) + 2 a_{3} - 5 = 0 ， \sin (a_{9} - 1) + 2 a_{9} + 1 = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $S_{11} = 11 ， a_{3} < a_{9}$ B、 $S_{11} = 11 ， a_{3} > a_{9}$ C、 $S_{11} = 22 ， a_{3} < a_{9}$ D、 $S_{11} = 22 ， a_{3} > a_{9}$

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二、多选题

9. 下列关于向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 的运算，一定成立的有（）．

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$ B、 $| \vec{a} - \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} |$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} \leq | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$ D、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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10. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图，则（）

A、函数 $f (x)$ 的对称轴方程为 $x = 4 k - 3 (k \in Z)$ B、函数 $f (x)$ 的递减区间为 $[8 k - 3 ， 8 k + 1] (k \in Z)$ C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- π ， 0]$ 上递增 D、 $f (x) \geq - 1$ 的解集为 $[8 k - \frac{5}{3} ， 8 k + \frac{11}{3}] (k \in Z)$

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11. 已知非零实数a，b满足 $a > | b | + 1$ ，则下列不等关系一定成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2} + 1$ B、 $2^{a} > 2^{b + 1}$ C、 $a^{2} > 4 b$ D、 $| \frac{a}{b} | > b + 1$

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12. 已知 $α ， β ， γ$ 都是锐角，若 $x = \sin α \cos β ， y = \sin β \cos γ ， z = \sin γ \cos α$ ，则关于x，y，z这三个数值，下列说法正确的是（）

A、当 $α = 45 °$ 时，x，y，z至少有一个不小于0.5 B、当 $α > 45 °$ 时，x，y，z至多有两个大于0.5 C、当 $α < 45 °$ 时，x，y，z至多有两个小于0.5 D、无论 $α ， β ， γ$ 为何值，x，y，z不可能均大于0.5，但有可能均小于0.5

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三、填空题

13. 若数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = \frac{n - 1}{n}$ ，则其通项公式为．

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14. 市面上出现某种如图所示的冰激凌，它的下方可以看作一个圆台，上方可以看作一个圆锥，对该组合体进行测量，圆台下底面半径为 $4 cm$ ，上底面半径为 $2 cm$ ，高为 $6 cm$ ，上方的圆锥高为 $8 cm$ ，则此冰激凌的体积为 ${cm}^{3}$ ．

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15. 写出满足下列条件的一个抛物线方程 $C ：$ ．
⑴该抛物线方程是标准方程；

⑵过 $A (0 ， 2)$ 的任意一条直线与该抛物线C有交点，且对于C上的任意一点P， $| A P |$ 的最小值为2．

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16. 已知不等式 $a \ln x^{2} - \frac{1}{x} + e^{\frac{1}{x}} \geq x^{2 a}$ 对任意 $x \in (0 ， 1)$ 恒成立，则实数a的最小值为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 2$ ，对于任意正整数n，有 $a_{n + 2} = 3 a_{n + 1} - 2 a_{n}$ ．若 $b_{n} = a_{n + 1} - 2 a_{n}$ ，

(1)、判断数列 ${b_{n}}$ 是等差数列还是等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} \cdot \log_{2} a_{n + 1}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 $\cos^{2} \frac{A - C}{2} - \cos A \cos C = \frac{3}{4}$ ，

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $a = 8 ， \cos A = \frac{\sqrt{21}}{7}$ ，D为边AB上一点，且 $C D = 7$ ，求 $\frac{B D}{D A}$ 的值．

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19. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京开幕．吉祥物“冰墩墩”以其可爱的外形迅速火爆出圈，其周边产品更是销售火热，甚至达到“一墩难求”的现象.某购物网站为了解人们购买“冰墩墩”的意愿，随机对90个用户（其中男30人，女60人）进行问卷调查，得到如下列联表和条形图：

	有购买意愿	没有购买意愿	合计
男
女
合计

如果从这90人中任意抽取1人，抽到“有购买意愿”的概率为 $\frac{2}{3}$ ．

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

临界值表：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

(1)、完成上述

2 \times 2

列联表，并回答是否有

95 %

的把握认为“购买意愿”与“性别”有关？

(2)、若以这90个用户的样本的概率估计总体的概率，现再从该购物网站所有用户中，采用随机抽样的方法每次抽取1名用户，抽取4次，记被抽取的4名用户对“冰墩墩”有购买意愿的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，写出X的分布列，并求期望和方差．

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20. 四棱锥 $P - A B C D$ ，底面ABCD是边长为3的菱形，且 $∠ A B C = 60 ° ， P A = \sqrt{3} ， P B = P D = 2 \sqrt{3} ， \vec{P E} = 2 \vec{E C} ， \vec{P F} = \vec{F D}$ ，设点T为BC上的点，且二面角 $B - P A - T$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ ，

(1)、求证： $P A ⊥$ 平面ABCD；

(2)、试求P与平面ATE的距离；

(3)、判断AF是否在平面ATE内，请说明理由．

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21. 已知坐标原点为O，点P为圆 $x^{2} + y^{2} = 6$ 上的动点，线段OP交圆 $x^{2} + y^{2} = 3$ 于点Q，过点P作x轴的垂线l，垂足R，过点Q作l的垂线，垂足为S．

(1)、求点S的轨迹方程C；

(2)、已知点 $A (- 2 ， 1)$ ，过 $B (- 3 ， 0)$ 的直线l交曲线C于M，N，且直线AM，AN与直线 $x = 3$ 交于E，F，求证：E，F的中点是定点，并求该定点坐标

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln x - \frac{1}{2} m x^{2} - x (m \in R)$ ．

(1)、若直线 $y = x + b$ 与 $f (x)$ 的图像相切，且切点的横坐标为1，求实数m和b的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上存在两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $\ln x_{1} + \ln x_{2} > 2$ ．

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