广西玉林市市直五所普通高中2021-2022学年高一下学期数学期中联合质量评价检测试卷

试卷更新日期：2022-05-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (x ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则x的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、0 C、1 D、2

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2. 已知复数 $z = \frac{3 - 4 i}{2 - i}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部是（）

A、 $- i$ B、 $- 1$ C、i D、1

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3. 如图所示的是用斜二测画法画出的 $△ A O B$ 的直观图（图中虚线分别与 $x^{'}$ 轴， $y^{'}$ 轴平行），则原图形 $△ A O B$ 的面积是（）

A、8 B、16 C、32 D、64

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4. 已知 $A ， B$ 为球 $O$ 的球面上两点，过弦 $A B$ 的平面截球 $O$ 所得截面面积的最小值为 $9 π$ ，且 $△ O A B$ 为等边三角形，则球 $O$ 的表面积为（）

A、36π B、54π C、108π D、144π

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5. 已知圆台上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积为（）．

A、14π B、 $\frac{14 π}{3}$ C、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $7 \sqrt{3} π$

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6. 某船开始看见灯塔A时，灯塔A在船南偏东 $30^{\circ}$ 方向，后来船沿南偏东 $60 °$ 的方向航行 $45 k m$ 后，看见灯塔A在船正西方向，则这时船与灯塔A的距离是（）

A、 $15 \sqrt{2} k m$ B、 $30 k m$ C、 $15 k m$ D、 $15 \sqrt{3} k m$

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7. 在边长为 $1$ 的正三角形 $A B C$ 中，设 $\vec{B C} = 2 \vec{B D}$ ， $\vec{C A} = λ \vec{C E}$ ，若 $\vec{A D} \cdot \vec{B E} = - \frac{1}{4}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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二、多选题

8. 在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是（）

A、B＝60°，c＝4，b＝5，有两解 B、B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解 C、B＝60°，c＝4，b＝3，有一解 D、B＝60°，c＝4，b＝2，无解

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9. 已知复数z的共轭复数为 $\bar{z}$ ，若 $i z = 1 + i$ ，则（）

A、z的实部是1 B、z的虚部是 $- i$ C、 $\bar{z} = 1 + i$ D、 $| z | = 2$

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10. 下面关于空间几何体叙述正确的是（）

A、正四棱柱是长方体 B、底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C、有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D、直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥

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11. 已知向量 $\vec{a} = (- 4 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， t)$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 时， $t = 4$ B、当 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ 时， $t = 1$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为锐角时，则 $t$ 的取值范围为 $(4 ， + \infty)$ D、当 $t = 2$ 时， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(- 1 ， - 1)$

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12. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，下列四个命题中正确的是（）

A、若 $a^{2} + b^{2} - c^{2} > 0$ ，则 $△ A B C$ 一定是锐角三角形 B、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 一定是等腰三角形 C、若 $a \cos C + c \cos B = b$ ，则 $△ A B C$ 一定是等腰三角形 D、若 $\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B} = \frac{c}{\cos C}$ ，则 $△ A B C$ 一定是等边三角形

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三、填空题

13. 化简： $i^{366} + i^{384} + i^{500} =$ .

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14. 已知三角形的三边之比为5：7：8，则该三角形最大角的余弦值是.

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15. 三棱锥 $P - A B C$ 中， $D ， E$ 分别为 $P B ， P C$ 的中点，记三棱锥 $D - A B E$ 的体积为 $V_{1}$ ， $P - A B C$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $V_{1} ： V_{2} =$ .

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16. 已知A、 $B$ 、 $C$ 三点共线，对该直线外任意一点 $O$ ，都有 $\vec{O C} = 4 m \vec{O A} + n \vec{O B}$ $(m ， n > 0)$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n}$ 的最小值为

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四、解答题

17. 如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且 $\frac{C F}{C B} = \frac{2}{3}$ ．设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b}$ ．

(1)、试用基底 ${\vec{a} ， \vec{b}}$ ，表示 $\vec{A E} ， \vec{E F}$ ；

(2)、若G为长方形ABCD内部一点，且 $\vec{A G} = \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ ．求证：E，G，F三点共线．

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18. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， - 1)$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、求 $| 2 \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(3)、若 $(k \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，求实数 $k$ 的值．

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19. 在△ $A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 b c} = \sin A$ ．

(1)、求C；

(2)、若 $\sin A = \sqrt{2} \sin B$ ， $c = 2$ ，求△ $A B C$ 的面积．

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是等腰直角三角形，且 $A B = B C = \sqrt{2}$ ， $A_{1} A = 2$ ．

(1)、求该直三棱柱的表面积；

(2)、若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求大棱柱表面积的最小值，并求出此时大棱柱的外接球的直径

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21. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求圆锥的底面积；

(2)、在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.

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22. 在① $\frac{s i n A}{s i n B} + \frac{s i n B}{s i n A} + 1 = \frac{c^{2}}{a b}$ ；② $(a + 2 b) c o s C + c c o s A = 0$ ；③ $\sqrt{3} a s i n \frac{A + B}{2} = c s i n A$ ，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且____.

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = 4$ ，求AB的中线CD长度的最小值.

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