广西梧州市岑溪市2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-05-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {1 ， 3 ， 5}$ ， $B = {3 ， 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{3} B、{5} C、 ${3 ， 4 ， 5}$ D、 ${1 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. “ $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ”是“ $\vec{a} = \vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $f (x) = a^{- x}$ ( $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ )，且 $f (- 2) > f (- 3)$ ，则a的取值范围是（）

A、 $0 < a < 2$ 且 $a \neq 1$ B、 $1 < a < 3$ C、 $1 < a < 2$ D、 $0 < a < 1$

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4. 一扇形的周长为20，半径为5，则该扇形的面积为（）

A、30 B、25 C、45 D、50

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5. 在 $△ A B C$ 中， $a = 3$ ， $b = 2$ ， $A = 60 °$ ，那么 $\sin B$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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6. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} x - 1 ， x \geq 0 \\ \frac{1}{x} ， x < 0 \end{array}$ ，若 $f (a) = a$ ，则实数a的值为（）

A、±1 B、-2或±1 C、-1 D、-2或-1

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7. 设 $m \in (0 ， 1)$ ，若 $a = l g m$ ， $b = l g m^{2}$ ， $c = {(l g m)}^{2}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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8. 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式 $y = 3 \sin (ω x + φ) + k$ ，据此可知，这段时间水深(单位： $m$ )的最大值为（）

A、5 B、6 C、8 D、10

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二、多选题

9. 如果a<b<0，c<d<0，那么下面一定成立的是（）

A、 $a + d < b + c$ B、 $a c > b d$ C、 $a c^{2} > b c^{2}$ D、 $\frac{d}{a} < \frac{c}{a}$

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10. 下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则 $2 \vec{a} < 3 \vec{b}$ B、若 $\vec{b} = λ \vec{a}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线 C、若 ${{\vec{e}}_{1} ， {\vec{e}}_{2}}$ 是平面内的一个基底，则平面内任一向量 $\vec{a}$ 都可以表示为 $\vec{a} = λ_{1} {\vec{e}}_{1} + λ_{2} {\vec{e}}_{2}$ ，且这对实数 $λ_{1}$ ， $λ_{2}$ 是唯一的 D、若 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， 1)$ ， $\vec{b} = (0 ， 1)$ ， $\vec{a} + λ \vec{b}$ 与 $\vec{a} - λ \vec{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $λ \in (- 2 ， 2)$

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11. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ），则（）

A、存在 $φ$ 的值，使得 $f (x)$ 是奇函数 B、存在 $φ$ 的值，使得 $f (x)$ 是偶函数 C、不存在 $φ$ 的值，使得 $f (x)$ 是奇函数 D、不存在 $φ$ 的值，使得 $f (x)$ 是偶函数

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12. 若 $△ A B C$ 为钝角三角形，且 $a = 2$ ， $b = 3$ ，则边C的长度可以为（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、4

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三、填空题

13. 已知角 $α$ 的终边与角 $β$ 的终边相同，则 $α$ ， $β$ 的关系是 $α =$ .

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14. 写出一个定义域为 $(0 ， + \infty)$ 且值域为R的函数 $f (x) =$ ．

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15. 设向量 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (2 ， 3)$ ，若向量 $λ \vec{a} + \vec{b}$ 与向量 $\vec{c} = (- 4 ， - 7)$ 共线，则 $λ =$

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16. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 $A$ 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 $30^{\circ}$ 的方向上，行驶600m后到达 $B$ 处，测得此山顶在西偏北 $75^{\circ}$ 的方向上，仰角为 $30^{\circ}$ ，则此山的高度 $C D =$ m.

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1) ， \vec{b} = (- 3 ， 4) ， \vec{c} = (1 ， 2)$

(1)、若 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ ，求实数λ，u的值；

(2)、若 $(m \vec{a} + \vec{b}) / / \vec{c}$ ，求 $m \vec{b} + \vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 夹角的余弦值.

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18. 已知扇形的周长为30．

(1)、若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角 $α$ ，弧长 $l$ 及面积 $S$ ；

(2)、求该扇形面积 $S$ 的最大值及此时扇形的半径 .

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19. 函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如下图所示：

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期与单调递减区间；

(3)、求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域．

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20. 如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{A D} = \overset{⇀}{b}$ ．

(1)、试以 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 为基底表示 $\overset{⇀}{B E}$ ， $\overset{⇀}{D F}$ ；

(2)、求证：A，G，C三点共线．

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21. 为进一步加强中华传统文化教育，提高学生的道德素养，培养学生的民族精神，更好地让学生传承和发扬中国传统文化和传统美德，某校组织了一次知识竞赛．现对参加活动的1280名学生的成绩(满分100分)做统计，得到了如图所示的频率分布直方图．

请大家完成下面问题：

(1)、求参赛同学的平均数与中位数(小数点后保留2位)(以每个区间的中点作为本区间的取值)；

(2)、若从该校80分至100分之间的同学按分层抽样抽取一个容量为7的样本，再从该样本任选2人参加与其他学校之间的比赛，求抽到的两人至少一人来自90分至100分的概率．

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22. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{3}) + \frac{\sqrt{3}}{2} + m (ω > 0)$ 在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定 $ω$ 和m值的两个条件作为已知．
条件①： $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ；

条件②： $f (x)$ 的最大值与最小值之和为0；

条件③： $f (0) = 2$ ．

(1)、求 $f (\frac{π}{4})$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， a]$ 上是增函数，求实数a的最大值．

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