广西柳州市2021-2022学年高一数学4月期中联考试卷

试卷更新日期：2022-05-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已如集合 $A = {x | x > 2}$ ， $B = {x | - 3 < x < 5}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 2 < x < 5}$ B、 ${x | - 3 < x < 2}$ C、 ${x | - 3 < x < 5}$ D、 ${x | x < - 3}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (x ， - 3)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数x的值为（）

A、-6 B、6 C、12 D、-12

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3. 若复数 $z = \frac{2 i}{1 - i}$ ，其中i为虚数单位，则z的模为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $- 1 + i$ D、 $1 + i$

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4. 在三角形ABC中，“ $∠ A = \frac{π}{6}$ ”是“ $\sin A = \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $\sin α - \cos α = \frac{1}{5}$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $- \frac{7}{25}$ B、 $\frac{7}{25}$ C、 $- \frac{24}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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6. 阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的数学家，物理学家和天文学家，他推导出的结论“圆柱内球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径．如图所示，若球的体积为 $12 π$ ，则圆柱的体积为（）

A、8π B、12π C、18π D、24π

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7. 函数 $f (x) = (3 x - x^{3}) \cdot \sin x$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 某地区为发展旅游经济，逐年加大文化旅游宣传资金投入，若该地区2020年全年投入宣传资金110万元，并在此基础上，每年投入的资会比上一年增长 $15 %$ ，则该地区全年投入文化旅游宣传资金翻一番（2020年的两倍）的年份是（参考数据： $\lg 1.15 \approx 0.06$ ， $\lg 2 \approx 0 ． 30$ ）（）

A、2027年 B、2026年 C、2025年 D、2024年

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二、多选题

9. 已如平面向量 $\vec{a} = (1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (1 ， \sqrt{3})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{7}$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 5$ C、向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $30 °$ D、向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $5 \vec{a}$

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10. 已知 $a > b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $\sin a > \sin b$ B、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、 $2^{a} + 2^{b} > 2 \sqrt{2}$ D、 $\lg a + \lg b = 0$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {log}_{3} (10 - x) ， x \leq 1 \\ 2^{x} - m ， x > 1 \end{array}$ 在R上存在最小值，则实数m的可能取值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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12. 函数 $f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，该结论可以推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a ， b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，设 $g (x) = \frac{2}{2^{x} + 1}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、对任意 $x \in R$ ， $g (x) + g (- x) = 2$ B、点 $(0 ， 1)$ 是函数 $g (x) = \frac{2}{2^{x} + 1}$ 的对称中心 C、若函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a ， b)$ 成中心对称图形，则 $f (- x + a) - f (x + a) = 2 b$ D、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = a$ 成轴对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a)$ 为偶函数

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三、填空题

13. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(3 ， \frac{1}{9})$ ，则 $f (2) =$ .

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14. 等边三角形 $A B C$ 的边长为1，则 $\vec{B C} \cdot \vec{C A} + \vec{C A} \cdot \vec{A B} + \vec{A B} \cdot \vec{B C}$ 的值为．

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15. 如图所示，圆锥 $P O$ 的底面直径和高均为4，过 $P O$ 的中点 $O^{'}$ 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩余几何体的表面积是．

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16. 设 $O$ 为 $△ A B C$ 的内心， $A B = A C = 5$ ， $B C = 8$ ， $\vec{A O} = m \vec{A B} + n \vec{B C} (m ， n \in R)$ ，则 $m + n =$

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四、解答题

17. 已知复数 $z = (m^{2} - 5 m + 6) + (m^{2} - 3 m) i (m \in R)$

(1)、若复数z是纯虚数，求实数m的值；

(2)、若复数z在复平面内的对应点在第四象限，求实数m的取值范围．

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18. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ， $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 4$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{21}$

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、若 $\vec{c} = t \vec{a} + \vec{b}$ 且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，求实数t的值及 $| \vec{c} |$ ．

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19. 已知 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为内角A．B，C的对边，且 $(a - b) sin A + b \sin B = c \sin C$ ．

(1)、求角C；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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20. 已知平面向量 $\vec{m} = (\frac{1}{2} sin 2 x ， - 1)$ ， $\vec{n} = (2 ， \sqrt{3} \cos 2 x)$ ， $x \in R$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及其对称中心；

(2)、若函数 $g (x)$ 的图象可由函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得到，求函数 $g (x)$ 在 $x \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{12}]$ 的最小值，并求出 $g (x)$ 取得最小值时 $x$ 的值．

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21. 为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米（ $1 \leq x \leq 5$ ），公司甲的整体报价为y元．

(1)、试求y关于x的函数解析式；

(2)、现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为 $(580 x + 20000)$ 元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (2^{x} - 1) (a - 2^{x + 1}) - 1 (a \in R)$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若存在 $x_{0} \in (0 ， + \infty)$ 使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ 成立，求实数a的取值范围．

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