广东省清远市重点中学2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-05-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $(1 + i) (a + i)$ 为纯虚数，其中 $a$ 为实数， $i$ 为虚数单位，则 $a =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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2. 下列命题中正确的是（）

A、棱锥的高线可能在几何体之外 B、上下底面平行且都是四边形的几何体是四棱台 C、圆锥的底面半径可以比圆锥的母线长 D、圆柱的侧面展开图不可能是正方形

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3. 在 $△ A B C$ 中，若 $a = 2$ ， $b = 4$ ， $\cos C = \frac{1}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的周长等于（）

A、8 B、16 C、10 D、20

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4. 已知在如图所示的等腰梯形ABCD中， $A B = 1$ ， $D C = 3$ ， $A D = \sqrt{2}$ ，用斜二测画法画出该梯形的直观图，则该梯形的直观图的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、2 D、 $8 \sqrt{2}$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 0)$ ， $\vec{c} = (2 ， 3)$ ，若 $λ$ 为实数， $(2 \vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $λ =$ （）

A、8 B、-8 C、4 D、-4

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6. 如图，已知扇环的内弧长为 $2 π$ ，外弧长为 $4 π$ ，扇环的宽为3，将该扇环卷成圆台，则该圆台的高为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{2}$

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7. 已知在 $△ A B C$ 中， $2 B = A + C ， b^{2} = a c$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形

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8. 已知在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A B$ ， $A D$ 上，连接 $E F$ 交 $A C$ 于点M，且满足 $\vec{B E} = 4 \vec{E A}$ ， $\vec{A F} = 3 \vec{F D}$ ， $\vec{A M} = 2 λ \vec{A B} - 3 μ \vec{A C}$ ，则 $5 λ - \frac{19}{2} μ =$ （）

A、-3 B、1 C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、多选题

9. 如图为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距水面2m，已知水轮每分钟转5圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足关系式 $y = A \sin (ω x + φ) + 2$ ，则有（）

A、 $ω = \frac{5 π}{12}$ B、 $ω = \frac{π}{6}$ C、 $A = 3$ D、 $T = 12$

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10. 已知 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则（）

A、若 $m // n$ ， $n \subset a$ ，则 $m // α$ B、若 $m ⊥ n$ ， $n \subset α$ ，则 $m ⊥ α$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n // α$ ，则 $m ⊥ n$ D、 $m // α$ ， $m // β$ ， $α \cap β = n$ ，则 $m // n$

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11. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列关于函数 $y = f (x)$ 说法正确的有（）

A、图象关于点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 对称 B、最小正周期为 $π$ C、图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 D、在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{2π}{3})$ 上单调递减

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E，F，G分别为BC， $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $A_{1} G$ 与直线DC所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ B、直线 $A_{1} G$ 与平面AEF不平行 C、点C与点G到平面AEF的距离相等 D、平面AEF截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$

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三、填空题

13. 已知 $m \in R$ ，复平面内表示复数 $(m^{2} - 2 m - 3) + (m^{2} - 4 m) i$ 的点位于第三象限内，则m的取值范围是.

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14. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (2 x - \frac{π}{3})$ ，现将 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则 $g (\frac{π}{3}) =$ .

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15. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点在球O的球面上，且满足条件 $P A = 3$ ， $P B = 4$ ， $P C = 5$ ， $A B = 5$ ， $A C = \sqrt{34}$ ， $B C = \sqrt{41}$ ，则球O的表面积为.

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16. 有一道解三角形的问题，缺少一个条件，具体如下：“在 $△ A B C$ 中，已知 $a = \sqrt{3}$ ， $B = 45 °$ ，，求角A的大小．”经推断缺少的条件为三角形一边的长度，且正确答案为 $A = 60 °$ ，试将所缺的条件补充完整．

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四、解答题

17. 已知复数 $z = \frac{3 - i}{2 + i}$ （i是虚数单位）， $\bar{z}$ 为z的共轭复数.

(1)、求复数z的模；

(2)、若 $z^{2} + a \bar{z} + b = 1 + i$ （a， $b \in R$ ），求a，b的值.

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18. 已知两个不共线向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ ，且 $\vec{O A} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{O B} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{O C} = m \vec{a} + n \vec{b}$ .

(1)、若 $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O C}$ ，求m，n的值；

(2)、若A，B，C三点共线，求mn的最大值.

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是平行四边形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $∠ P C D = 90 °$ ， $P A = A B = A C = 2$

(1)、证明：AC⊥CD；

(2)、若E是棱PC的中点，求直线AD与平面PCD所成的角

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20. 如图，缉私艇在A处通过卫星发现正东方相距 $40nmile$ 的P处有一艘走私船，走私船正以 $10 \sqrt{2} nmile/h$ 的速度往它的东北方向的公海逃窜，此时距离公海 $35 \sqrt{6} nmile$ ．缉私艇立即以 $20nmile/h$ 的速度追缉．

(1)、为了尽快将走私船截获，缉私艇应该往哪个方向进行追缉？

(2)、缉私艇能否在该走私船进入公海前将其截获？

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21. 在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 $a = 2$ ， $\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{4 a \cos A} = \frac{\tan A}{\tan B}$ .

(1)、已知 $△ A B C$ 的面积S满足 $S = 2 \cos A$ ，求角A；

(2)、若边BC上的中线为AD，求AD长的最小值.

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22. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面ABCD，E为 $A A_{1}$ 中点， $A A_{1} = A B = 2$ .

(1)、求证： $A C_{1} ∥$ 平面 $B_{1} D_{1} E$ ；

(2)、求三棱锥 $A - B_{1} D_{1} E$ 的体积；

(3)、在 $A C_{1}$ 上是否存在点M，满足 $A C_{1} ⊥$ 平面 $M B_{1} D_{1}$ ？若存在，求出AM的长；若不存在，说明理由.

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