广东省茂名市重点中学2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-05-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \leq 1} ， B = {y | y \leq 0}$ ，则 $A \cap ∁_{R} B =$ （）

A、（0，1] B、[0，1） C、（0，＋∞） D、 $\emptyset$

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2. 设复数 $z = 1 - {(1 - i)}^{2}$ ，则复数z的共轭复数 $\bar{z}$ 等于（）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $3 + 2 i$ D、 $3 - 2 i$

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3. 已知 $α$ 的终边上有一点 $P (1 ， 3)$ ，则 $\frac{s i n (\frac{π}{2} - α) + s i n (π + α)}{c o s (\frac{3 π}{2} - α) + 2 c o s (- π + α)}$ 的值为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、4

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4. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (2 ， 3) ， \overset{⇀}{b} = (x ， 2)$ ，则“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角”是“ $x > - 3$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 在△ABC中，点D在边BC上，且 $C D = 2 B D$ ， E是AD的中点，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A C}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A C}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$

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6. 函数 $f (x) = \ln x + 2 x - 6$ 的零点的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 鹳雀楼是我国著名古迹，位于今山西省永济市，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．更有唐朝诗人王之涣在作品《登鹳雀楼》中写下千古名句“欲穷千里目，更上一层楼”．如图是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼的顶点C的仰角为 $30 °$ ，沿直线前进51.9米到达E点，此时看点A的仰角为 $60 °$ ，若点B，E，D在一条直线上， $B C = 2 A C$ ，则楼高 $A B$ 约为（ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）（）

A、30米 B、60米 C、90米 D、103米

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8. 已知梯形ABCD 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B = \frac{π}{3}$ ， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $A D = 1$ ，点P，Q在线段BC上移动，且 $P Q = 1$ ，则 $\vec{D P} \cdot \vec{D Q}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{11}{2}$ C、 $\frac{13}{2}$ D、 $\frac{11}{4}$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (0 ， - 2)$ ，则以下结论正确的有（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{b} |$ B、 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ C、 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 可以作为一组基底 D、 $\vec{a} / / (\vec{a} + \vec{b})$

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10. 已知i是虚数单位，若 $z (2 + i) = \frac{3 - i}{2 + i}$ ，则（）

A、复数z的虚部为 $- \frac{3}{5}$ B、 $\bar{z} = - \frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$ C、复数z对应的点在第二象限 D、 $| z - 1 | = 1$

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11. 关于函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 有下列说法，其中正确说法的是（）

A、 $y = f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ B、 $y = f (x)$ 是以 $π$ 为最小正周期的周期函数 C、 $y = f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12})$ 上单调递减 D、将函数 $y = \sqrt{2} \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，将与 $y = f (x)$ 的图象重合

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12. 已知 $a ， b ， c$ 分别是 $△ A B C$ 三个内角 $A ， B ， C$ 的对边，下列四个命题中正确的是（）

A、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $\sin A > \cos B$ B、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 C、若 $b \cos C + c \cos B = b$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 D、若 $△ A B C$ 是等边三角形，则 $\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B} = \frac{c}{\cos C}$

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三、填空题

13. 命题“ $\forall x < - 3$ ， $x^{2} + 2 x > 3$ ”的否定是．

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14. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，其中 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 2$ ，且 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ (3 \vec{a} + \vec{b})$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角等于；

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15. 在 $△ A B C$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别是内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边，若 $a + c = 3$ ， $a c = 1$ ， $\cos B = \frac{3}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的周长为.

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D，E是线段BC上两个动点，且 $\vec{A D} + \vec{A E} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x + y =$ ， $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 计算下列各式的值.

(1)、 $27^{\frac{2}{3}} + {(\frac{1}{3})}^{- 2} - {(3 - π)}^{0} + {(2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}})}^{6}$ ；

(2)、 ${log}_{2} 8 - (lg 4 + lg 25) - {log}_{5} 8 \cdot {log}_{2} 5 + 7^{{log}_{7} 2}$ .

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (2 ， 1)$ ， $B (0 ， 3)$ ， $C (- 1 ， - 1)$ .

(1)、求以AB， $A C$ 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)、若向量 $(\vec{A C} - t \vec{O B}) ⊥ \vec{O B}$ ，求实数 $t$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin x cos x - {cos}^{2} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及函数 $f (x)$ 的对称轴方程；

(2)、若 $x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间和值域.

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20. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，向量 $\vec{m} = (a ， \sqrt{3} b)$ ，向量 $\vec{n} = (\cos A ， \sin B)$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$

(1)、求角A；

(2)、若 $a = \sqrt{7} ， b = 2 ，$ ，求△ABC的面积

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21. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， - 1)$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{5}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 5$ ， $\vec{c} = x \vec{a} + (1 - x) \vec{b}$ ．

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，求实数 $x$ 的值；

(2)、当 $| \vec{c} |$ 取最小值时，求 $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角的余弦值．

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 4 x + 5$ ， $g (x) = \log_{2} x$ .

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上是单调函数，则 $a$ 的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，是否存在实数 $a$ ，使得函数 $f (x)$ 与函数 $g (x)$ 的图象在区间 $[1 ， 2]$ 上有唯一的交点，若存在，求出 $a$ 的范围，若不存在，请说明理由.

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