浙江省杭州十三中教育集团2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2022-05-20 类型：期中考试

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一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ C、 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ D、 $\sqrt{13}$

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2. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{20} = 2 \sqrt{10}$ B、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{4} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$

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4. 某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占40%，期末卷面成绩占60%，小明的两项成绩（百分制）依次是90分、80分，则小明的学期数学成绩是（　　）

A、80分 B、82分 C、84分 D、86分

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5. 四边形的内角和等于 $x °$ ，五边形的外角和等于 $y °$ ，则下列关系成立的是（）

A、 $x = y$ B、 $x = 2 y$ C、 $x = y + 180$ D、 $y = x + 180$

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6. 关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 有两个不相等的实根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k < \frac{4}{3}$ B、 $k < \frac{4}{3}$ 且 $k \neq 1$ C、 $0 \leq k \leq \frac{4}{3}$ D、 $k \neq 1$

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7. 如图，▱ $A B C D$ 与▱ $D C F E$ 的周长相等，且 $∠ B A D = 60 °$ ， $∠ F = 110 °$ ，则 $∠ D A E$ 的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $35 °$

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8. 某电影上映第一天票房收入约 $3$ 亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到 $10$ 亿元.若增长率为 $x$ ，则下列方程正确的是（）

A、 $3 (1 + x) = 10$ B、 $3 {(1 + x)}^{2} = 10$ C、 $3 + 3 {(1 + x)}^{2} = 10$ D、 $3 + 3 (1 + x) + 3 {(1 + x)}^{2} = 10$

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9. 关于 $x$ 的方程 $a {(x + m)}^{2} + b = 0$ 的解是 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 1 (a ， m ， b$ 均为常数， $a \neq 0)$ ，则方程 $a {(x + m + 2)}^{2} + b = 0$ 的解是（）

A、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 3$ B、 $x_{1} = - 4$ ， $x_{2} = - 1$ C、 $x_{1} = - 4$ ， $x_{2} = 2$ D、 $x_{1} = 4$ ， $x_{2} = 1$

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10. 如图，点 $P$ 是▱ $A B C D$ 内的任意一点，连接 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 、 $P D$ ，得到 $△ P A B$ 、 $△ P B C$ 、 $△ P C D$ 、 $△ P D A$ ，设它们的面积分别是 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 、 $S_{4}$ ，给出如下结论中正确的是（）
$① S_{1} + S_{3} = S_{2} + S_{4}$ ； $②$ 如果 $S_{4} > S_{2}$ ，则 $S_{3} > S_{1}$ ； $③$ 若 $S_{3} = 2 S_{1}$ ，则 $S_{4} = 2 S_{2}$ ； $④$ 如果 $P$ 点在对角线 $B D$ 上，则 $S_{1}$ ： $S_{4} = S_{2}$ ： $S_{3}$ ； $⑤$ 若 $S_{1} - S_{2} = S_{3} - S_{4}$ ，则 $P$ 点一定在对角线 $B D$ 上.

A、 $① ③ ④$ B、 $② ③ ⑤$ C、 $① ④ ⑤$ D、 $② ④ ⑤$

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二、填空题（本题共6小题，共18分）

11. 若二次根式 $\sqrt{2 x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是．

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12. 已知 $x = a$ 是方程 $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的根，代数式 $a^{2} - 3 a + 4$ 的值为.

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13. 已知五个正数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ， $e$ ，平均数是4，方差为2，则 $3 a + 1$ ， $3 b + 1$ ， $3 c + 1$ ， $3 d + 1$ ， $3 e + 1$ 这五个数的平均数是，方差是.

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14. 如图，▱ $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ， $∠ A E B = 45 °$ ， $B D = 2$ ，将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 所在直线翻折 $180 °$ 到其原来所在的同一平面内，若点 $B$ 的落点记为 $B'$ ，则 $D B'$ 的长为.

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15. 对于实数 $m$ ， $n$ ，定义一种运算 $*$ 为： $m * n = m n + n .$ 如果关于 $x$ 的方程 $x * (a * x) = - \frac{1}{4}$ 有两个相等的实数根，则 $a =$ .

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16. 如图，在▱ $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是边 $A D$ 、 $A B$ 上的点，连结 $O E$ 、 $O F$ 、 $E F .$ 若 $A B = 7$ ， $B C = 5 \sqrt{2}$ ， $∠ D A B = 45 °$ ，则

$①$ 点 $C$ 到直线 $A B$ 的距离是.

$② △ O E F$ 周长的最小值是.

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三、计算题（本题共1小题，共10分）

17. 计算：

(1)、 ${(\sqrt{16})}^{2} - \sqrt{25} + \sqrt{{(- 2)}^{2}}$ ；

(2)、 $(\sqrt{48} - \sqrt{27}) \div \sqrt{3}$ .

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四、解答题（本题共6小题，共52分）

18. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x - 7 = 0$ ；

(2)、 $3 x (x - 1) = 2 - 2 x$ .

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19. 某市举行知识大赛，

A

校、

B

校各派出5名选手组成代表队参加比赛

.

两校派出选手的比赛成绩如图所示.

根据图中信息，整理分析数据：

	平均数 $/$ 分	中位数 $/$ 分	众数 $/$ 分
$A$ 校	85	85	85
$B$ 校	85	$a$	$b$

请你结合图表中所给信息，解答下列问题：

(1)、a= ；

b =

；

(2)、填空：（填“A校”或“B校”）

$①$ 从两校比赛成绩的平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是；

$②$ 从两校比赛成绩的平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是；

(3)、计算两校比赛成绩的方差，并判断哪个学校派出的代表队选手成绩较为稳定.

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20. 如图5×5方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点.请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上，

(1)、在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8；

(2)、在图2中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10.

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21. 如图，在▱ $A B C D$ 中，点 $G$ ， $H$ 分别是 $A B$ ， $C D$ 的中点，点 $E$ ， $F$ 在对角线 $A C$ 上，且 $A E = C F$ .

(1)、求证：四边形 $E G F H$ 是平行四边形；

(2)、连接 $B D$ 交 $A C$ 于点 $O$ ，若 $B D = 10$ ， $A E + C F = E F$ ，求 $E G$ 的长.

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22. 社区利用一块矩形空地建了一个小型的便民停车场，其布局如图所示.已知 $A D = 52 m$ ， $A B = 28 m$ ，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为 $640 m^{2}$ .

(1)、求通道的宽是多少米？

(2)、该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，求停车场的月租金收入最多为多少元？

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23. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，且 $∠ A D C = 60 °$ .

(1)、求证： $A B = A E$ ；

(2)、若 $\frac{A B}{B C} = m (0 < m < 1)$ ， $A C = 4 \sqrt{3}$ ，连接 $O E$ ；
$①$ 若 $m = \frac{1}{2}$ ，求平行四边 $A B C D$ 的面积；

$②$ 设 $\frac{S_{四边形 O E C D}}{S_{△ A O D}} = k$ ，试求 $k$ 与 $m$ 满足的关系.

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