浙江省杭州市建德市2022届九年级下学期期中数学试卷（一模）

试卷更新日期：2022-05-20 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $\cos 45^{\circ} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2. 如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（）

A、正方体 B、长方体 C、三棱柱 D、四棱锥

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3. 二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 1$ 的对称轴为（）

A、直线 $x = 4$ B、直线 $x = 2$ C、直线 $x = - 2$ D、直线 $x = 1$

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4. 一个不透明的盒子中装有5个大小相同的乒乓球，做了1000次摸球实验，摸到黄球的频数为401，则估计其中的黄球个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 在 $∠ A O B$ 的内部任取一点C，作射线OC，则一定有（）

A、 $∠ A O C = ∠ B O C$ B、 $∠ B O C > ∠ A O C$ C、 $∠ A O C > ∠ B O C$ D、 $∠ A O B > ∠ A O C$

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6. 我校在举办“图书节”的活动中，将 $x$ 本图书分给了 $y$ 名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本，下列方程正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} 6 y - 40 = x \\ 8 y + 50 = x \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 6 y + 40 = x \\ 8 y - 50 = x \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 6 y + 40 = y \\ 8 y - 50 = y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 6 y - 40 = x \\ 8 y - 50 = x \end{array}$

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7. 如图，直线 $m ⊥ n$ ，在某平面直角坐标系中， $x$ 轴 $∥ m$ ， $y$ 轴 $∥ n$ ，点 $P$ 的坐标为 $(- 1 ， 2)$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(- 3 ， - 1)$ ，则坐标原点为（）

A、点A B、点B C、点C D、点D

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8. 已知点 $P (m ， n)$ 在直线 $y = - x + 4$ 上，且 $2 m - 5 n \geq 0$ ，则（）

A、 $\frac{n}{m}$ 有最大值 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{n}{m}$ 有最小值 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{m}{n}$ 有最大值 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{m}{n}$ 有最小值 $\frac{5}{2}$

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9. 如图，已知 $A T$ 切 $⊙ O$ 于点 $T$ ，点 $B$ 在 $⊙ O$ 上，且 $∠ B O T = 60 °$ ，连结 $A B$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $C$ ， $⊙ O$ 的半径为2，设 $A T = m$ ，

①当m= $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 时， $Δ B O C$ 是等腰直角三角形；②若 $m = 2$ ，则 $A C = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ ；③当 $m = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 时， $A B$ 与 $⊙ O$ 相切.以上列选项正确的有（）

A、② B、③ C、②③ D、①③

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10. 已知代数式 $(x - x_{1}) (x - x_{2}) + m x + n$ 化简后为一个完全平方式，且当 $x = x_{1}$ 时此代数式的值为0，则下列式子中正确的是（）

A、 $x_{1} - x_{2} = m$ B、 $x_{2} - x_{1} = m$ C、 $m (x_{1} - x_{2}) = n$ D、 $m x_{1} + n = x_{2}$

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二、填空题

11. 任意一个十边形的内角和为 $^{\circ}$ .

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12. 化简： $(2 m - n) - (2 m + n) =$ .

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13. 小明上下学的交通工具是公交车，上学、放学都可以坐3路、5路和7路这三路车中的一路，则小明当天上学、放学坐的是同一路车的概率为.

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14. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $\sin B = \frac{1}{4}$ ， $\tan C = \frac{1}{2}$ ， $A B = 4$ ，则 $A C$ 的长为.

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15. 已知反比例函数的表达式为 $y = \frac{1 + 2 m}{x}$ ， $A (x_{1} ， y_{1})$ 和 $B (x_{2} ， y_{2})$ 是反比例函数图象上两点，若 $x_{1} < 0 < x_{2}$ 时， $y_{1} < y_{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是.

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16. 如图，已知矩形 $A B C D$ ，将 $△ B C D$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ 至 $△ B E F$ ，连结 $A C$ ，BF，若点A，C， $F$ 恰好在同一条直线上，则 $\frac{A B}{B C} =$ .

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三、解答题

17. 下面是小明同学解不等式的过程，
解不等式： $\frac{2 x - 1}{3} > \frac{3 x - 2}{2} - 1$

解： $2 (2 x - 1) > 3 (3 x - 2) - 1$

$4 x - 2 > 9 x - 6 - 1$

$4 x - 9 x > - 6 - 1 + 2$

$- 5 x > - 5$

$x > 1$

你认为正确吗？错误的话，请你写出正确的做法.

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18. 农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位： $cm$ ）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．

请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、本次抽取的麦苗的株数为，图①中m的值为；

(2)、求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数．

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19. 如图， $∠ M A B$ 为锐角，射线 $A M$ ∥射线 $B N$ ，作 $∠ M A B$ 和 $∠ N B A$ 的平分线分别交 $B N$ 和 $A M$ 于点 $C$ 和 $D$ ，连接 $C D$ ，求证：四边形 $A B C D$ 为菱形.

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20. 已知：一次函数 $y = 3 x - 2$ 的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1.

(1)、求该反比例函数的解析式；

(2)、将一次函数 $y = 3 x - 2$ 的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标.

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21. 如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 是边 $B C$ 的中点，以 $A D$ 为底边在其右侧作等腰三角形 $A D E$ ，使 $∠ A D E = ∠ B$ ，连结 $C E$ ，则：

(1)、求证： $D E ∥ A B$ ；

(2)、若 $\cos B = \frac{1}{4}$ ，求证： $C E = 2 A D$ .

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22. 在平面直角坐标系中，设二次函数 $y = - {(x - m)}^{2} + 1 - 2 m$ （ $m$ 是实数）

(1)、当 $m = - 1$ 时，若点 $A (2 ， n)$ 在该函数图象上，求 $n$ 的值.

(2)、已知 $A (2 ， - 2)$ ， $B (1 ， 2)$ ， $C (1 ， - 1)$ ，从中选择一个点作为该二次函数图象的顶点，判断此时 $(2 ， - 2)$ 是否在该二次函数的图象上.

(3)、已知点 $P (1 - a ， p)$ ， $Q (2 m + 1 - a ， p)$ 都在该二次函数图象上，求证： $p \leq 2$ .

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23. 如图， $A B$ 、 $A C$ 是 $⊙ O$ 的两条弦， $B O$ 的延长线交 $A C$ 于点 $D$ ，连结 $O A$ 、 $O C$ ，若 $A D^{2} = O D \cdot D B$ ，则：

(1)、求证： $A B = A C$ ；

(2)、当 $B D ⊥ A C$ 时，求 $∠ B A C$ ；

(3)、若AB=BD，且 $△ A O B$ 面积为2，求 $△ A O D$ 的面积.

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