2021-2022学年初中数学北师大版七年级下学期期末复习试卷第一章整式的乘除

试卷更新日期：2022-05-19 类型：复习试卷

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一、单选题

1. $(x - 1) (2 x + 3)$ 的计算结果是（）

A、 $2 x^{2} + x - 3$ B、 $2 x^{2} - x - 3$ C、 $2 x^{2} - x + 3$ D、 $x^{2} - 2 x - 3$

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2. 下列计算错误的是（）

A、 $a^{3} + a^{3} ＝ 2 a^{3}$ B、 $4 a^{6} \div 2 a^{2} ＝ 2 a^{4}$ C、 $a^{3} \cdot a^{2} ＝ a^{5}$ D、 ${(3 a^{3})}^{2} ＝ 6 a^{6}$

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3. 若 $n$ 满足关系式 $(n - 2020)^{2} + (2021 - n)^{2} = 3$ ，则代数式 $(n - 2020) (2021 - n) =$ （）

A、－1 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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4. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厍度应是0.0000098m，用科学记数法表示0.0000098是（）

A、0.98×10^﹣⁵ B、9.8×10⁵ C、9.8×10^﹣⁶ D、9.8×10^﹣⁵

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5. 新冠病毒的直径为0.000000125米，这个数据用科学记数法表示为（）

A、 $1.25 \times 1 0^{- 10}$ B、 $1.25 \times 1 0^{- 11}$ C、 $1.25 \times 1 0^{- 8}$ D、 $1.25 \times 1 0^{- 7}$

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6. 下列结论中： ①若 ${(1 - x)}^{x + 1} = 1$ ，则 $x = - 1$ ；②若 $a^{2} + b^{2} = 3 ， a - b = 1$ ，则 $(2 - a) (2 - b)$ 的值为 $5 - 2 \sqrt{5}$ ； ③若规定：当 $a b \neq 0$ 时， $a \otimes b = a + b - a b$ ，若 $a \otimes (4 - a) = 0$ ，则 $a = 2$ ；④若 $4^{x} = a ， 8^{y} = b$ ，则 $2^{4 x - 3 y}$ 可表示为 $\frac{2 a}{b}$ ； ⑤若 $(x + 1) (x - a)$ 的运算结果中不含 $x$ 的一次项，则 $a = 1$ . 其中正确的个数是（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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7. 如图，在长方形 $A B C D$ 中放入一个边长为8的大正方形 $A L M N$ 和两个边长为6的小正方形（正方形 $D E F G$ 和正方形 $H I J K$ ）.3个阴影部分的面积满足 $2 S_{3} + S_{1} - S_{2} = 2$ ，则长方形 $A B C D$ 的面积为（）

A、90 B、96 C、98 D、100

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8. 如图1的8张宽为a，长为 $b (a < b)$ 的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）

A、 $b = 5 a$ B、 $b = 4 a$ C、 $b = 3 a$ D、 $b = a$

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9. 记 $n = (1 + 3) (1 + 3^{2}) (1 + 3^{4}) \dots (1 + 3^{256})$ ，则 $2 n + 1$ （）

A、一个偶数 B、一个质数 C、一个整数的平方 D、一个整数的立方

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10. 为了求 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{50}$ 的值，可设 $s = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{50}$ ，等式两边同乘以 $2$ ，得 $2 s = 2 (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{50}) = 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{51}$ ，所以得 $2 s - s = (2 + 2^{2} +$ $2^{3} + \dots + 2^{51}) - (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{50}) = 2^{51} - 1$ ，所以 $s = 2^{51} - 1$ ，即： $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} +$ $\dots + 2^{50}$ ＝ $2^{51} - 1$ .仿照以上方法求 $1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + \dots + 5^{2020}$ 的值为（）

A、 $5^{2021} - 1$ B、 $5^{2020} - 1$ C、 $\frac{5^{2020} - 1}{4}$ D、 $\frac{5^{2021} - 1}{4}$

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二、填空题

11. 计算 $4 x \cdot (- 3 x y^{2}) =$ .

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12. 计算： $8 1^{\frac{1}{4}}$ = ， $\sqrt{(- 2)^{6}}$ =

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13. 把式子 $(2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) ⋯ (2^{128} + 1)$ 化简的结果是.

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14. 计算 $(- 2)^{200} \times (- \frac{1}{2})^{201} =$

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15. 若 $2^{m} = 3$ ， $2^{n} = 6$ ， $(m$ ， $n$ 为正数），则 $2^{m + n} =$ ．

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16. 嘉嘉同学动手剪了如图1所示的正方形与矩形纸片若干张．

(1)、他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图2）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是．

(2)、如果要拼成一个长为 $(a + 2 b)$ ，宽为 $(a + b)$ 的大长方形，则需要3号卡片张．

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17. 数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形。现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是。(请填上正确的序号)

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三、计算题

18. 用简便方法计算下列各题：

(1)、 $9 9^{2}$ ；

(2)、 $10 2^{2} - 101 \times 103$ ．

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19. 计算：

(1)、 $a^{3} \cdot a^{3} + (2 a^{3})^{2} - 2 a^{6}$ ；

(2)、 $(π - 3)^{0} + (\frac{1}{2})^{- 2} + (- 1)^{2022}$ ．

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20.

(1)、若 $x + \frac{1}{x} = 2$ ，求 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ ， $x^{4} + \frac{1}{x^{4}}$ 的值；

(2)、若 $2^{m} = 3$ ， $2^{n} = 6$ ，求 $2^{m + n}$ ， $2^{3 m - 2 n}$ .

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四、综合题

21. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了 ${(a + b)}^{n} (n$ 为正整数)的展开式(按 $a$ 的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应 ${(a + b)}^{2} = a^{2} +$ $2 a b + b^{2}$ 展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应 ${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ 展开式中的系数.

(1)、根据上面的规律，写出 ${(a + b)}^{5}$ 的展开式；

(2)、利用上面的规律计算： $2^{5} - 5 \times 2^{4} + 10 \times 2^{3} - 10 \times 2^{2} + 5 \times 2 - 1$ .

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22.
小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．观察与操作：

（1）他拼成如图②所示的正方形，根据四个小纸片的面积之和等于大正方形的面积，得到：a²+2ab+b²=（a+b）² ，验证了完全平方公式；即：多项式 a²+2ab+b²分解因式后，其结果表示正方形的长（a+b）与宽（a+b）两个整式的积．
（2）当他拼成如图③所示的矩形，由面积相等又得到：a²+3ab+2b²=（a+2b）（a+b），即：多项式 a²+3ab+2b²分解因式后，其结果表示矩形的长（a+2b）与宽（a+b）两个整式的积．
问题解决：
（1）请你依照小刚的方法，利用拼图写出恒等式a²+4ab+3b² ．（画图说明，并写出其结果）
（2）试猜想面积是2a²+5ab+3b²的矩形，其长与宽分别是多少？（画图说明，并写出其结果）

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23.

(1)、【知识情境】通常情况下，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.
如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b） .把余下的部分剪拼成一个长方形（如图2）.通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是；

(2)、【拓展探究】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式.
如图3是边长为 $a + b$ 的正方体，被如图所示的分割线分成8块.

用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式可以为：

；

(3)、已知 $a + b = 4$ ， $a b = 2$ ，利用上面的恒等式求 $a^{3} + b^{3}$ 的值.

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24.

(1)、已知4^m＝a，8ⁿ＝b，用含a，b的式子表示下列代数式：
①求：2^2m＋³n的值.

②求：2^2m－⁶n的值.

(2)、已知2×8^x×16＝2²³ ，求x的值.

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25. 图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)、观察图2，请你写出下列三个代数式(a+b)² ， (a-b)² ， ab之间的等量关系为．

(2)、运用你所得到的公式，计算：若m，n为实数，且mn=-3，m-n=4，试求m+n的值．

(3)、如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB=7，两正方形的面积和S₁+S₂=23，求图中阴影部分面积．

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26. 如图1，边长为 $a$ 的大正方形有一个边长为 $b$ 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）

(1)、如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成平方差的形式）

(2)、如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是，长是，面积是.（写成多项式乘法形式）

(3)、比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式.

(4)、请应用这个公式完成下列各题：
①已知 $4 m^{2} - n^{2} = 12$ ， $2 m + n = 4$ ，则 $2 m - n =$

②计算： $202 0^{2} - 2018 \times 2022$ =

③计算： $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) ⋯ (1 - \frac{1}{201 9^{2}}) (1 - \frac{1}{202 0^{2}})$

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27. 用纸片拼图时，我们发现利用图1中的三种纸片（边长分别为 $a$ ， $b$ 的正方形和长为 $b$ 宽为 $a$ 的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图2可以解释为： $(a + 2 b) (a + b) = a^{2} + 3 a b + 2 b^{2}$ ．

(1)、图3可以解释为等式：；

(2)、要拼出一个两边长为 $a + b$ ， $3 a + b$ 的长方形，先回答需要以下三种纸片各多少块，再用画图或整式乘法验证你的结论；
块，块，块

(3)、如图4，大正方形的边长为 $m$ ，小正方形的边长为 $n$ ，若用 $x$ ， $y$ （ $x > y$ ）表示四个相同小长方形的两边长，以下关系式正确的是（填序号）．① $x + y = m$ ；② $2 x y = m^{2} - n^{2}$ ；③ $x^{2} - y^{2} = m n$ ；④ $x^{2} + y^{2} = m^{2} + n^{2}$ ．

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2021-2022学年初中数学北师大版七年级下学期期末复习试卷 第一章整式的乘除

一、单选题

二、填空题

三、计算题

四、综合题

2021-2022学年初中数学北师大版七年级下学期期末复习试卷第一章整式的乘除