江西省赣州市2022届高三理数二模试卷

试卷更新日期：2022-05-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $z$ 满足 $z i = 2 + 3 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $3 - 2 i$ B、 $3 + 2 i$ C、 $2 + 3 i$ D、 $2 - 3 i$

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2. 集合 $A = {x | 2^{x} - 16 > 0}$ ， $B = {x | \lg (x^{2} + 2 x - 2) > 0}$ ，则 $∁_{B} A =$ （）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (3 ， 4]$ B、 $(- \infty ， - 3) \cup (1 ， 4]$ C、 $(1 ， 4]$ D、 $(3 ， 4]$

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3. 一组数据按从小到大排列为2，3，3，x，7，10，若这组数据的平均数是中位数的 $\frac{5}{4}$ 倍，则下列说法错误的是（）

A、 $x = 5$ B、众数为3 C、中位数为4 D、方差为 $\frac{23}{6}$

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4. 设 $O$ 为正六边形 $A B C D E F$ 的中心，在O，A，B，C，D，E，F中任取三点，则取到的三点构成等边三角形的概率为（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{6}{35}$ C、 $\frac{8}{35}$ D、 $\frac{9}{35}$

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5. $(2 x + 1) {(x - 2)}^{6}$ 展开式中 $x^{4}$ 的系数为（）

A、-260 B、-60 C、60 D、260

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6. 当函数 $y = 2 \cos α - 3 \sin α$ 取得最大值时， $\tan α =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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7. 在等差数列 ${a_{n}}$ 和等比数列 ${b_{n}}$ 中，有 $a_{1} = b_{1} = t > 0$ ，且 $a_{2 n + 1} = b_{2 n + 1}$ ，则下列关系式中正确的是（）

A、 $a_{n + 1} < b_{n + 1}$ B、 $a_{n + 1} \geq b_{n + 1}$ C、 $a_{n + 1} = b_{n + 1}$ D、 $a_{n + 1} > b_{n + 1}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（）

A、 $y = f (2 x - 1)$ B、 $y = f (\frac{4 x - 1}{2})$ C、 $y = f (1 - 2 x)$ D、 $y = f (\frac{1 - 4 x}{2})$

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9. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 是双曲线 $C$ 右支上一点，若 $| P F_{2} | = | F_{1} F_{2} |$ ，点 $F_{2}$ 到直线 $P F_{1}$ 的距离为 $2 a$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\sqrt{6}$

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10. 已知圆C的方程为 $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ ，若直线 $y = k (x + 1)$ 上存在一点P，使过点P所作圆C的两条切线互相垂直，则实数k的值可以为（）

A、-3 B、-2 C、3 D、4

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11. 已知 $a = \frac{1}{e}$ ， $b = \frac{ln 5}{5}$ ， $c = \frac{2}{5}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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12. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，且 $P A = A B = 6$ ，过点A作 $P C$ 的垂面分别交 $P B$ ， $P C$ ， $P D$ 于点E，F，G，则四边形 $A E F G$ 的面积为（）

A、 $5 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $7 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1)$ ， $2 \vec{a} + \vec{b} = (4 ， 2)$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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14. 已知 $x$ 、 $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x - y - 2 \leq 0 \\ x + 2 y - 5 \geq 0 \\ y - 2 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = \frac{x + y + 2}{x + 1}$ 的取值范围是．

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15. 已知过点 $M (0 ， 1)$ 的直线与抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 交于不同的A，B两点，以A，B为切点的两条切线交于点N，若 $\vec{N A} \cdot \vec{N B} = 0$ ，则p的值为．

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16. “ $n \times n$ 蛇形数阵”是指将从1开始到 $n^{2} (n \in N^{*})$ 的若干个连续的自然数按顺序顺时针排列在正方形数阵中，如图分别是3×3与4×4的蛇形数阵，在一个11×11的蛇形数阵，则该数阵的第6行第5列的数为．
$\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 8 & 9 & 4 \\ 7 & 6 & 5 \end{matrix}$ $\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 12 & 13 & 14 & 5 \\ 11 & 16 & 15 & 6 \\ 10 & 9 & 8 & 7 \end{matrix}$

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三、解答题

17. 某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表所示：

x

1

2

3

4

5

6

7

y

6

11

21

34

66

101

196

根据以上数据，绘制了如图所示的散点图．

参考数据：

$\bar{y}$

$\bar{v}$

$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i}$

$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} v_{i}$

$10^{0.54}$

62.14

1.54

2535

50.12

3.47

其中 $v_{i} = \lg y_{i}$ ， $\bar{v} = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{7} v_{i}$ ．

参考公式：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1})$ ， $(u_{2} ， v_{2})$ ，…， $(u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $v = α + β u$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - \bar{n u v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n \bar{u}}$ ， $\hat{a} = \bar{v} - β \bar{u}$ ．

(1)、根据散点图，判断在推广期内， $y = a + b x$ 与 $y = c \cdot d^{x}$ （c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；

(2)、根据（1）的判断结果及题干中表格内的数据，建立y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 $b + 4 c = 4 a \cos B$ ，点D，E满足 $\vec{A D} = \vec{D B}$ ， $\vec{A E} = 2 \vec{E C}$ ．

(1)、求 $\sin A$ 的大小；

(2)、若 $a = 4$ ， $| \vec{D E} | = \sqrt{6}$ ，求b，c．

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B / / C D$ ，其中 $C D = A D = 2 A B = 4$ ，沿 $A C$ 将面 $A B C$ 折叠，使得三棱锥 $B - A C D$ 的体积为4．

(1)、求证：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、求二面角 $A - B D - C$ 的余弦值．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点 $A (1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆C上．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若椭圆C的右顶点为B，直线l过定点 $M (3 ， 0)$ ，且交椭圆 $C$ 于P，Q两点（异于点B），试探究直线 $B P$ 与 $B Q$ 的斜率的乘积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - a^{2} x^{2} + x - \ln x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若对于一切 $x \in (0 ， + \infty)$ ，恒有 $f (x) \geq \ln a$ 成立，求实数a的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cos θ \\ y = \frac{3}{2} \sin θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．求 ${| O A |}^{2} + {| O B |}^{2}$ 的值．

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23. 不等式 $a + b + c \geq | x + 1 | - | x + 2 |$ 对于 $x \in R$ 恒成立．

(1)、求证： $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{1}{3}$ ；

(2)、求证： $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{b^{2} + c^{2}} + \sqrt{c^{2} + a^{2}} \geq \sqrt{2}$

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$\bar{y}$	$\bar{v}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} v_{i}$	$10^{0.54}$
62.14	1.54	2535	50.12	3.47

x	1	2	3	4	5	6	7
y	6	11	21	34	66	101	196