吉林省长春市2022届高三理数质量检测（四模）试卷

试卷更新日期：2022-05-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x | \leq 3}$ ， $B = {x | x \leq 2}$ ，则集合 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x \leq 3}$ B、 ${x | - 3 \leq x \leq 2}$ C、 ${x | 0 \leq x \leq 2}$ D、 ${x | 2 \leq x \leq 3}$

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2. 若复数 $z = \frac{2 + i}{a + i}$ 的实部与虚部相等，则实数a的值为（）

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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3. 下列函数既是偶函数，又在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = x^{4} + x^{2}$ B、 $y = e^{- | x |}$ C、 $y = e^{x} - e^{- x}$ D、 $y = l n | x |$

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4. 已知长方形的长与宽分别为3和2，则分别以长与宽所在直线为旋转轴的圆柱体的体积之比为（）

A、3：2 B、2：3 C、9：4 D、4：9

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5. 纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值．现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是 $T_{1} (℃)$ ，空气的温度是 $T_{0} (℃)$ ，经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式 $t = 4 l o g_{3} \frac{T_{1} - T_{0}}{T - T_{0}}$ 得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却约5分钟后，物体的温度是30℃，若根据对数尺可以查询出 $l o g_{3} 2 = 0.6309$ ，则空气温度约是（）

A、5℃ B、10℃ C、15℃ D、20℃

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6. 设 $l ， m ， n$ 表示直线， $α ， β$ 表示平面，使“ $l ⊥ α$ ”成立的充分条件是（）

A、 $α ⊥ β$ ， $l / / β$ B、 $α ⊥ β$ ， $l \subset β$ C、 $l / / n$ ， $n ⊥ α$ D、 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$

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7. 已知随机变量 $X ∼ B (4 ， \frac{1}{3})$ ，下列表达式正确的是（）

A、 $P (X = 2) = \frac{4}{81}$ B、 $E (3 X + 1) = 4$ C、 $D (3 X + 1) = 8$ D、 $D (X) = \frac{4}{9}$

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8. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a（单位：t），用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费，如果当地政府希望使80%以上的居民每月的用水量不超出该标准，为了科学合理确定出a的数值，政府采用抽样调查的方式，绘制出100位居民全年的月均用水量（单位：t）频率分布直方图如图，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况，可推断标准a大约为（）

A、2.4 B、2.6 C、2.8 D、3.2

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9. 对于函数 $f (x) = 2 \cos (2 x - \frac{π}{3})$ ，下列结论正确的是（）

A、图象关于点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 对称 B、在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、与函数 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 相等 D、在区间 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 的最大值为2

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $(a_{n + 1} - 1) (a_{n} + 1) + 2 = 0$ ， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前2022项积为（）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、-6 D、 $\frac{3}{2}$

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11. 已知点 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点，过点 $F_{1}$ 作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为H，且 $| F_{2} H | = 3 | F_{1} H |$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = x e^{x - 1} - 1$ ， $g (x) = x + a + \ln x$ ，若 $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $(- \infty ， - 0]$ C、 $(- \infty ， 1]$ D、 $(- \infty ， e]$

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二、填空题

13. 若公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} = 5$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{5}$ 成等比数列，则 $a_{1} =$ ．

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14. $\int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) d x =$ ．

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15. 在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上，且满足 $\vec{A P} = 2 \vec{P M} ， \vec{P A} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 等于 .

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16. 现有四棱锥 $P - A B C D$ （如图），底面ABCD是矩形， $P A ⊥$ 平面ABCD. $P A = A B = 1$ ， $A D = 3$ ，点E，F分别在棱AB，BC上.当空间四边形PEFD的周长最小时，异面直线PE与DF所成角的余弦值为.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A､B､C所对的边分别是a､b､c， $△ A B C$ 的面积为S，且 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = \frac{4}{3} \sqrt{3} \cdot S$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $b = 2$ ， $a = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知直三棱柱中 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 为正三角形，E为AB的中点，二面角 $E - A_{1} C - A$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ .

(1)、求证： $B C_{1}$ $/ /$ 平面 $A_{1} E C$ ；

(2)、求直线BC与平面 $A_{1} E C$ 所成角的正弦值.

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19. 今年全国两会期间，习近平总书记在看望参加全国政协十三届五次会议的农业界､社会福利和社会保障界委员时指出“粮食安全是‘国之大者’.悠悠万事，吃饭为大.”某校课题小组针对粮食产量与化肥施用量以及与化肥有效利用率间关系进行研究，收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值.每亩化肥施用量为x(单位：公斤)，粮食亩产量为y(单位：百公斤)．
参考数据：
$\sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{10} x_{i}$
$\sum_{i = 1}^{10} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{10} {x_{i}}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{10} t_{i} z_{i}$
$\sum_{i = 1}^{10} t_{i}$
$\sum_{i = 1}^{10} z_{i}$
$\sum_{i = 1}^{10} {t_{i}}^{2}$
650
91.5
52.5
1478.6
30.5
15
15
46.5
表中 $t_{i} = l n x_{i}$ ， $z_{i} = l n y_{i} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 10)$
附：①对于一组数据 $(u_{i} ， v_{i})$ $(i = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ ，其回归直线 $\hat{v} = \hat{β} u + \hat{α}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ ；②若随机变量 $Z \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则有 $P (μ - σ < Z < μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < Z < μ + 2 σ) \approx 0.9545$ .

(1)、根据散点图判断， $y = a + b x$ 与 $y = c x^{d}$ ，哪一个适宜作为粮食亩产量y关于每亩化肥施用量x的回归方程(给出判断即可，不必说明理由)；

(2)、根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；并预测每亩化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y的值；( $e \approx 2.7$ )

(3)、通过文献可知，当化肥施用量达到一定程度，粮食产量的增长将趋于停滞，所以需提升化肥的有效利用率，经统计得，化肥有效利用率 $Z \sim N (0.54 ， 0.0 2^{2})$ ，那么这种化肥的有效利用率超过56%的概率为多少？

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20. 已知函数 $f (x) = 1 - \frac{l n (x + 1)}{x}$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ .

(1)、证明： $0 < f (x) < \frac{x}{2}$ ；

(2)、若数列 ${x_{n}}$ 满足 $x_{1} = \frac{1}{2}$ ， $x_{n + 1} = f (x_{n})$ ，证明： $\forall n \in N^{*}$ ， $x_{n} \leq \frac{1}{2^{n}}$ .

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21. 已知抛物线 $E ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，过点F且倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线被 $E$ 所截得的弦长为16.

(1)、求抛物线E的方程；

(2)、已知点 $C$ 为抛物线上的任意一点，以 $C$ 为圆心的圆过点F，且与直线 $y = - \frac{1}{2}$ 相交于 $A ， B$ 两点，求 $| F A | \cdot | F B | \cdot | F C |$ 的取值范围.

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22. 如图，在极坐标系Ox中，方程 $ρ = a (1 - s i n θ) (a > 0)$ 表示的曲线 $C_{1}$ 是一条优美的心脏线．在以极轴Ox所在直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t \\ y = \sqrt{3} t \end{array}$ （t为参数，且 $t \geq 0$ ）．

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、当 $a = 2$ 时， $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交于点A，将射线OA绕极点按顺时针方向旋转 $\frac{π}{6}$ ，交 $C_{1}$ 于点B，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的值．

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23. 设函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | 2 x + 1 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) < 3$ 的解集；

(2)、设a，b是两个正实数，若函数 $f (x)$ 的最小值为m，且 $a + 2 b = m$ ．证明： $\sqrt{a} + \sqrt{2 b} \leq 2$ ．

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$\sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} x_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} {x_{i}}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} t_{i} z_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} t_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} z_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} {t_{i}}^{2}$
650	91.5	52.5	1478.6	30.5	15	15	46.5