湖南省岳阳市平江县2022届高三下学期数学教学质量监测试卷（三）

试卷更新日期：2022-05-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数z在复平面内的对应的点的坐标为(-2，1)，则下列结论正确的是（）

A、复数z的共轭复数是2-i B、 $z \cdot i^{3} = - 1 + 2 i$ C、 $| z | = 5$ D、 $z^{2}$ 的虚部是-4

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2. 若集合 $A = {x | \frac{x + 1}{x - 2} \geq 0}$ ， $B = {x | x^{2} + x - 2 > 0}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 2]$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $(- 1 ， 2)$

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3. 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log₂a₄的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4. 某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为1的半球．已知该胶囊的体积为 $\frac{13}{3} π$ ，则它的表面积为（）

A、 $\frac{35}{6} π$ B、 $\frac{10}{3} π$ C、10π D、 $\frac{16}{3} π$

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5. 已知 $M$ 为抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上一点， $M$ 到抛物线的焦点的距离为4，到 $x$ 轴的距离为3，则 $p =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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6. 设点 $A$ 的坐标为 $(a ， b)$ ， $O$ 是坐标原点，向量 $\vec{O A}$ 绕着 $O$ 点逆时针旋转 $θ$ 后得到 $\vec{O A^{'}}$ ，则 $A^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(a \cos θ - b \sin θ ， a \sin θ + b \cos θ)$ B、 $(a \cos θ + b \sin θ ， b \cos θ - a \sin θ)$ C、 $(a \sin θ + b \cos θ ， a \cos θ - b \sin θ)$ D、 $(b \cos θ - a \sin θ ， b \sin θ + a \cos θ)$

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7. 已知一组数据： $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 的平均数是5，方差是4，则由 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， $2 x_{3} + 1$ 和11 这四个数据组成的新数据组的方差是（）

A、16 B、14 C、12 D、11

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8. 已知函数 $f (x) = \lg x + \frac{a}{6} (x^{2} - x)$ ，若不等式 $f (x) > 0$ 有且仅有2个整数解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \lg 3 ， - \lg 2)$ B、 $(- \lg 3 ， - \lg 2]$ C、 $(\lg 2 ， \lg 3)$ D、 $[\lg 2 ， \lg 3)$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 必过 $(\bar{x} ， \bar{y})$ B、设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则 $| r |$ 越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强 C、在一个 $2 \times 2$ 列联表中，由计算得 $K^{2}$ 的值，则 $K^{2}$ 的值越小，判断两个变量有关的把握越大 D、若 $X ~ N (1 ， σ^{2})$ ， $P (X > 2) = 0.2$ ，则 $P (0 < X < 1) = 0.3$

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10. 下列四个命题中，正确的是（）

A、若 $α ， β$ 是锐角三角形 $△ A B C$ 的内角，则 $\sin α > \cos β$ ； B、存在实数 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，使得 $\sin x + \cos x = \frac{3}{π}$ ； C、直线 $x = \frac{π}{4}$ 是函数 $f (x) = \sin x + \cos x$ 的图像的一条对称轴； D、函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图像向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到 $g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象．

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11. 如图，在直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，各棱长均为2， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、三棱锥 $A_{1} - A B C$ 外接球的体积为 $\frac{28 \sqrt{21}}{27} π$ B、异面直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、当点M在棱 $B B_{1}$ 上运动时， $| M D | + | M A_{1} |$ 最小值为 $2 \sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}$ D、N是 $A B C D$ 所在平面上一动点，若N到直线 $A A_{1}$ 与 $B C$ 的距离相等，则N的轨迹为抛物线

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12. 甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛 $2 n (n \in N^{*})$ 局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为 $\frac{1}{2} .$ 如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为 $P (n)$ ，则（）

A、 $p (2) = \frac{5}{16}$ B、 $p (3) = \frac{11}{16}$ C、 $p (n) = \frac{1}{2} (1 - \frac{C_{2 n}^{n}}{2^{2 n}})$ D、 $p (n)$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$

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三、填空题

13. 已知F₁ ， F₂分别为双曲线C： $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ 的上、下焦点，过点F₂作y轴的垂线交双曲线C于P，Q两点，则△PF₁Q的面积为．

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14. 已知 ${(1 - x)}^{5} + {(1 + x)}^{7} = a_{0} - a_{1} x + a_{2} x^{2} - a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} - a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6} - a_{7} x^{7}$ ，则 $a_{2} + a_{4} + a_{6}$ 的值为．

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15. 设点P在以A为圆心，半径为1的圆弧 $\overset{⌢}{B C}$ 上运动(包含B，C两个端点)，∠BAC＝ $\frac{2 π}{3}$ ，且 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，x＋y的取值范围为．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} + \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} = 2 (n \geq 2)$ ，且 $a_{1} \neq a_{2}$ ， $a_{5} = \frac{1}{9} ， a_{11} = \frac{1}{21}$ ，则该数列的首项 $a_{1} =$ ；若数列 ${a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项的为 $S_{n}$ ，且对 $\forall n \in N *$ 都有 $t > S_{n}$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若已知 $a \sin \frac{A + C}{2} = b \sin A$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积的最大值．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{n^{2} + 5 n}{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {\begin{matrix} a_{n} ， n \leq 5 \\ 2 b_{n - 5} ， n > 5 \end{matrix}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前20项和 $T_{20}$ ．

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19. 新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共 $n (n \in N^{*})$ 份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：
方案甲：逐份检验，需要检验n次；

方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有 $k (k \in N^{*} ， k \geq 2)$ 份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为 $k + 1$ ．

假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为 $p (0 < p < 1)$ ．

(1)、若 $n = 5$ ， $p = 0.2$ ，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；

(2)、记 $ζ$ 为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数．
①当 $k = 5$ ， $p = 0.2$ 时，求 $E (ζ)$ ；

②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据： ${0.8}^{4} = 0.41 ， {0.8}^{5} = 0.33 ， {0.8}^{6} = 0.26$ ）

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $F$ 是 $P D$ 的中点．

(1)、证明： $P B / /$ 平面 $A F C$ ；

(2)、若直线 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A C = A P = 2$ ，且 $P A$ 与平面 $A F C$ 所成的角正弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求锐二面角 $F - A C - D$ 的余弦值．

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21. 在平面直角坐标系中，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{6}}{3} ， a = \sqrt{6}$ ，直线 $l$ 与 $x$ 轴相交于点 $E$ ，与椭圆相交于点 $A ， B$ ；

(1)、求椭圆 $C$ 的方程，

(2)、在 $x$ 轴上是否存在点 $E$ ，使得 $\frac{1}{| E A |^{2}} + \frac{1}{| E B |^{2}}$ 为定值？若存在，请求出点 $E$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln x + \frac{3}{2} x^{2} - (a + 1) x + b$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、 $e$ 为自然对数的底数，若 $a \in (\frac{3}{e} - 1 ， 3 e + 1)$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，证明： $b - 2 a + 6 > 0$ .

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