河南省洛阳市2022届高三理数第三次统一考试试卷

试卷更新日期：2022-05-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $\frac{a + 2 i}{i} = b + i (a ， b \in R)$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $a + b =$ （）

A、3 B、1 C、-1 D、-3

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2. 已知集合 $U = {x | x \leq 5 ， x \in N}$ ， $A = {1 ， 2 ， 4 ， 5}$ ， $B = ｛ 0 ， 1 ， 2 ， 3 ｝$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${0 ， 3}$ B、{3} C、{0} D、 ${1 ， 2}$

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3. 若函数 $f (x) = x^{3} (a \cdot 2^{x} - 2^{- x})$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、±1

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4. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， \sin θ)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， \cos θ)$ ，则“ $θ = \frac{3 π}{4}$ ”是“ $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{m} - x^{2} = 1 (m > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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6. 2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物爱好者的喜爱，“冰墩墩”和“雪容融”将中国文化符号和冰雪运动完美融合，承载了新时代中国的形象和梦想.若某个吉祥物爱好者从装有3个“冰墩墩”和3个“雪容融”的6个盲盒的袋子中任取2个盲盒，则恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{10}$

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7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{4}{3}$

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8. 首位数定理：在 $b$ 进位制中，以数字 $n (1 \leq n \leq b - 1)$ 为首位的数出现的概率为 $\log_{b} (n + 1) - \log_{b} n$ ，几乎所有日常生活中非人为规律的统计数据都满足这个定理.已知某银行10000名储户的存款金额调查结果符合上述定理，则下列结论正确的是（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010$ ， $\lg 3 \approx 0.4771$ ）

A、存款金额的首位数字是1的概率约为 $\frac{1}{9}$ B、存款金额的首位数字是5的概率约为9.7% C、存款金额的首位数字是6的概率小于首位数字是7的概率 D、存款金额的首位数字是8或9的概率约为9.7%

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9. 若函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{10})$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有且仅有6个极值点，则正整数 $ω$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 若过点 $P (1 ， t)$ 可作出曲线 $y = x^{3}$ 的三条切线，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 ${0 ， 1}$

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11. 已知点 $M$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上异于顶点的动点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点， $O$ 为坐标原点， $E$ 为 $M F_{1}$ 的中点， $∠ F_{1} M F_{2}$ 的平分线与直线 $E O$ 交于点 $P$ ，则四边形 $M F_{1} P F_{2}$ 的面积的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、 $2 \sqrt{2}$

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12. 已知 $a = 8^{10}$ ， $b = 9^{9}$ ， $c = 10^{8}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $a > b > c$

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二、填空题

13. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{matrix} 3 x - y - 2 \geq 0 \\ 8 x - 5 y \leq 0 \\ y \leq 4 \end{matrix}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为.

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14. 在 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，只有第七项的二项式系数最大，则展开式中常数项是.（用数字作答）

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15. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 为 $C C_{1}$ 上的动点，则 $D_{1} E + E B$ 的最小值为.

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16. 已知点 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，且 $A G ⊥ B G$ ，若 $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{μ}{\tan C}$ ，则 $μ =$ .

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三、解答题

17. 影响消费水平的原因是很多的，其中重要的一项是工资收入.下表是我国某地区2016年-2021年职工平均工资与城镇居民消费水平（单位：万元）的数据；

年份	2016	2017	2018	2019	2020	2021
职工平均工资	6.6	7.2	7.8	8.5	8.4	9.5
城镇居民消费水平	4.1	5.0	5.2	6.3	5.8	6.6

以 $x$ 表示职工平均工资，以 $y$ 表示城镇居民消费水平，绘制如下散点图：

附：线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} x$ ，参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 389.3$ ， $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 268.59$ ，

(1)、请写出从散点图发现的

y

与

x

之间关系的一般规律，并求出线性回归方程（精确到0.01）；

(2)、请预测2022年的职工平均工资至少多少万元时，城镇居民消费水平才不少于8.11万元？

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18. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} + S_{n} = a_{n + 1}^{2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} \cdot b_{n + 1} = 2^{a_{n}}$ 且 $b_{1} = 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图， $D$ 为圆锥的顶点， $O$ 为圆锥底面的圆心， $A B$ 为底面直径， $C$ 为底面圆周上一点， $D A = A C = B C = 2$ ，四边形 $D O A E$ 为矩形.

(1)、若点 $F$ 在 $B C$ 上，且 $D F ∥$ 平面 $E A C$ ，请确定点 $F$ 的位置并说明理由；

(2)、求二面角 $D - B C - E$ 的余弦值.

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20. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ， $A$ 是 $C$ 上位于第一象限内的动点，它到点 $B (3 ， 0)$ 距离的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ，直线 $A B$ 与 $C$ 交于另一点 $D$ ，线段AD的垂直平分线交 $C$ 于E，F两点.

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、若 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ ，证明A，D，E，F四点共圆，并求该圆的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x + x^{2} - x + m (m \in R)$ ， $g (x) = (x - 2) e^{x} - x^{2}$ （其中 $e$ 为自然对数的底数）.

(1)、判断函数 $f (x)$ 的零点的个数，并说明理由；

(2)、当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) + g (x) < 0$ 恒成立，求整数 $m$ 的最大值.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{6} + t \\ y = \frac{1}{2} k t \end{array}$ （ $t$ 为参数），直线 $l_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = m - \sqrt{6} \\ y = - \frac{m}{k} \end{array}$ （ $m$ 为参数），设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $P$ ，当 $k$ 变化时， $P$ 的轨迹为曲线 $C_{1}$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程；

(2)、以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ$ ，射线 $O M$ ： $θ = \frac{π}{4} (ρ \geq 0)$ 与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 分别交于A，B两点，求线段AB的长.

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23. 设函数 $f (x) = | x - 1 | - 2 | x + 1 |$ ， $g (x) = | x - 3 | + | x + a |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq - 1$ 的解集；

(2)、若 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ， $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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