河南省百所名校2022届高三理数第三次学业质量联合检测试卷

试卷更新日期：2022-05-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x \in N | x (x - 1) < 6} ， Q = {x | - 4 < x < 2}$ ，则 $P \cap Q =$ （）

A、{—1，0，1} B、{0，1} C、{1} D、（—2，2）

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2. 若复数z满足 $\frac{z}{i} + i = z$ ，则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量， $| \vec{a} + λ \vec{b} | = | λ \vec{a} - \vec{b} | (λ \neq 0)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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4. 已知 $a \log_{2} 3 = 6$ ，则 ${(\sqrt{3})}^{a} =$ （）

A、6 B、8 C、12 D、16

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5. 已知直线l与平面 $α$ ，则“l， $α$ 不平行”是“ $α$ 内不存在直线与l平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若 $α \in (- π， 0)$ ， $\sin 2 α = \frac{1}{4} \tan α$ ，则 $\cos (α - \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{14}}{4}$

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7. 已知1，2，4，5，m这五个数据的中位数是m，则这五个数据的平均数大于 $m + \frac{2}{5}$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 已知直线l的斜率为2，l与曲线 $C_{1}$ ： $y = x (1 + \ln x)$ 和圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x + n = 0$ 均相切，则 $n =$ （）

A、－4 B、－1 C、1 D、4

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9. 已知△ABC中，D为边BC的中点，若 $\sin B = \sqrt{2} \sin ∠ A D C = 2 \sin C$ ，则∠BAD的余弦值为（）

A、 $\frac{11 \sqrt{2}}{16}$ B、 $\frac{5 \sqrt{2}}{8}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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10. 已知双曲线C； $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为2c，过C的右焦点F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若 $a = c \cdot \sin ∠ A F O$ 且 $\vec{F B} = 3 \vec{F A}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = e^{| x |} + x (x \neq 0)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ .若 $a b \neq 0$ ，且 $a > b$ ，则（）

A、 $f (a) > f (b)$ B、 $f (- a) > f (- b)$ C、 $f^{'} (a) + f^{'} (- b) > 2$ D、 $f^{'} (- a) + f^{'} (b) > 2$

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12. 将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $φ (0 < φ \leq \frac{π}{2})$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，有下述四个结论：
①若 $g (x)$ 是偶函数，则 $φ = \frac{π}{2}$ ；②当 $φ = \frac{π}{6}$ 时，满足 $f (x) \leq g (x)$ 的 $x$ 的取值范围为 $[- \frac{π}{3} + k π ， \frac{π}{6} + k π] (k \in Z)$ ；③若 $g (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上恰有一个极值点，则 $φ$ 的取值范围为 $(0 ， \frac{π}{4})$ ；④当 $φ = \frac{π}{6}$ 时，若 $| f (x_{1}) - g (x_{2}) | = 2$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ .

其中所有正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 设x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - 2 y \geq 0 \\ 2 x - y + 3 \geq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = x - 5 y$ 的最小值是.

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14. 已知抛物线C： $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点， $A H ⊥ l$ 于点H.若x轴平分 $∠ H F B$ ，则点A的横坐标为.

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15. 为筑牢校园疫情防控，确保高中教学工作顺利进行，某县疫情防控部门抽调县医院的甲､乙等六位医生平均分为三组，分别去该县的三所高中学校对校内师生进行核酸检测，则甲､乙两位医生不去同一所学校的方法种数为.

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16. 已知平行四边形ABCD中 $A B = 2 B C = 2 ， ∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ，以DB为折痕将△ABD折起，使点A到达点P的位置，且 $P C = 2$ ，若三棱锥P-BCD的四个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为.

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三、解答题

17. 甲､乙两合机床加工同一规格（直径20.0

mm

）的机器零件，为了比较这两台机床生产的机器零件精度的差异，随机选取了一个时间段，对该时间段内两台机床生产的所有机器零件直径的大小进行了统计，并整理如下：甲：19.7，19.8，19.8，19.9，19.9，19.9，20.0，20.0，20.0，20.0，20.1，20.1，20.1，20.1，20.2，20.2，20.2，20.3；乙：19.5，19.6，19.7，19.8，19.9，20.0，20.0，20.1，20.1，20.2，20.3，20.4规定误差不超过0.2

mm

的零件为一级品，误差大于0.2

mm

的零件为二级品.

附 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

(1)、根据以上数据完成下面的

2 \times 2

列联表，并判断是否有95%的把握认为甲､乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异；

	一级品	二级品	总计
甲机床
乙机床
总计

(2)、从甲机床生产的18个零件中任取3个，再从乙机床生产的12个零件中任取2个，求在取到的零件中，甲机床生产的一级品恰好比乙机床生产的一级品多2个的概率.

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18. 如图，在三棱锥S-ABC中，E是线段SB上的一点， $S A ⊥ A C ， A E ⊥ B C$ ， $A B = B C = \sqrt{2} ， S A = A C = 2$ .

(1)、证明：SA⊥平面ABC；

(2)、若平面ACE⊥平面SBC，求直线SC与平面ACE所成角的大小.

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19. 已知数列{ $a_{n}$ }满足 $a_{1} = 1 ， a_{n} + a_{n + 1} = 4 n .$

(1)、求数列{ $a_{n}$ }的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{4 n \cos n π}{a_{n} a_{n + 1}} ，$ ，求数列{ $b_{n}$ }的前n项和 $S_{n}$ ，并求 $S_{n}$ 的最大值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左顶点为 $A_{1}$ ，左焦点为 $F_{1}$ ，上顶点为 $B_{1}$ ，下顶点为 $B_{2}$ ，M为C上一动点， $△ M A_{1} F_{1}$ 面积的最大值为 $\sqrt{2} - 1$

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过P（0，2）的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ），直线 $B_{1} E$ ， $B_{2} D$ 相交于点Q.证明：点Q在一条定直线上，并求该直线方程

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21. 设函数 $f (x) = 2 x - a \ln x - a ， a \in R .$

(1)、求f（x）的单调区间：

(2)、当 $a = 2$ 时，若 $f (m) = f (n)$ ，且 $0 < m - n \leq 2$ ，是否存在实数k，使得 $k - m > n$ 恒成立？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由.

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22. 在直角坐标系xOy中，直线l经过点 $M (- 1 ， m)$ 且斜率为1.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ \sin^{2} θ = 2 p \cos θ (p > 0)$ .直线l交曲线C于不同的两点A，B.

(1)、写出直线l的一个参数方程，并求曲线C的直角坐标方程；

(2)、若点M在曲线C的准线上，且 $| M A |$ ， $\frac{1}{2} | A B |$ ， $| M B |$ 成等比数列，求m的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a |$ ， $g (x) = | x + 1 | + a$ .

(1)、若不等式 $f (x) > 3$ 的解集为 $(- \infty ， - 2) \cup (4 ， + \infty)$ ，求a的值；

(2)、若对 $\forall x \in R$ .不等式 $f (x) + g (x) \geq 3$ 恒成立，求a的取值范围.

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