备考浙教版中考数学专项训练数学思想

试卷更新日期：2022-05-18 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 如图，在边长为2的正方形 $E F G H$ 中， $M$ ， $N$ 分别为 $E F$ 与 $G H$ 的中点，一个三角形 $A B C$ 沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点 $A$ 恒在直线 $M N$ 上，当点 $A$ 运动到线段 $M N$ 的中点时，点 $E$ ， $F$ 恰与 $A B$ ， $A C$ 两边的中点重合．设点 $A$ 到 $E F$ 的距离为 $x$ ，三角形 $A B C$ 与正方形 $E F G H$ 的公共部分的面积为 $y$ ，则当 $y = \frac{5}{2}$ 时， $x$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{4}$ 或 $2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ 或 $2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{7}{4}$ 或 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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2. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线 $y = t x + 2 t + 2$ （ $t > 0$ ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{2} \leq t < 2$ B、 $\frac{1}{2} < t \leq 1$ C、 $1 < t \leq 2$ D、 $\frac{1}{2} \leq t \leq 2$ 且 $t \neq 1$

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3. 如图，把某矩形纸片 $A B C D$ 沿 $E F$ ， $G H$ 折叠（点E、H在 $A D$ 边上，点F，G在 $B C$ 边上），使点B和点C落在 $A D$ 边上同一点P处，A点的对称点为 $A^{'}$ 、D点的对称点为 $D^{'}$ ，若 $∠ F P G = 90 °$ ， $△ A^{'} E P$ 为8， $△ D^{'} P H$ 的面积为2，则矩形 $A B C D$ 的长为（）

A、 $6 \sqrt{5} + 10$ B、 $6 \sqrt{10} + 5 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{5} + 10$ D、 $3 \sqrt{10} + 5 \sqrt{2}$

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4. 关于二次函数 $y = a x^{2} - 4 a x - 5 (a \neq 0)$ 的三个结论：①对任意实数m，都有 $x_{1} = 2 + m$ 与 $x_{2} = 2 - m$ 对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则 $- \frac{4}{3} < a \leq - 1$ 或 $1 \leq a < \frac{4}{3}$ ；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则 $a < - \frac{5}{4}$ 或 $a \geq 1$ ．其中正确的结论是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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5. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE ，分别交BD、AC于点P、Q ，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F ，下列结论：
①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，②AP＝FP ， ③AE＝ $\frac{\sqrt{10}}{2}$ AO ， ④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，⑤CE•EF＝EQ•DE ．

其中正确的结论有（）

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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6. 设三个互不相等的有理数，既可以表示为 $1 ， a + b ， a$ 的形式，也可以表示为 $0 ， \frac{b}{a}, b$ 的形式，则 $a^{2018} + b^{2018}$ 的值等于（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 如图，在 ▱ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S_四边形_DEBC=2S_△_EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中符合题意结论的个数共有（）.

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 若关于x的一元二次方程ax²+bx﹣1＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a（x﹣1）²+b（x﹣1）＝1必有一根为（）

A、 $\frac{1}{2019}$ B、2020 C、2019 D、2018

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9. 平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点共有（）个．

A、3 B、4 C、5 D、6

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10. 若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为（）

A、10 B、 $2 \sqrt{7}$ C、10或 $2 \sqrt{7}$ D、10或 $\sqrt{7}$

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二、填空题

11. 为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离．某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座．例如图1中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为人，并在图2中画出一种相应的座位安排示意图．

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12. 已知抛物线 $y = (2 m - 1) x^{2} + (m + 1) x + 3$ （m为常数）．

(1)、若该抛物线经过点（1，m+7），求m的值；

(2)、若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求满足条件的最大整数m；

(3)、将该抛物线向下平移若干个单位长度，所得的新抛物线经过P（ $- 5$ ， $y_{1}$ ），Q（7， $y_{2}$ ）（其中 $y_{1} < y_{2}$ ）两点，当 $- 5 \leq x \leq 3$ 时，点P是该部分函数图象的最低点，求m的取值范围．

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13. 在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（m ， 7），三角形ABC的面积为14，则m的值为．

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14. 如图，点E在 AC 的延长线上， ∠BAC 与 ∠DCE 的平分线交于点 F，∠B=58°， ∠F=56°，则∠BDC= ．

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15. 如图，大正方形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ，小正方形 $A E F G$ 中， $A E = \sqrt{5}$ ，在小正方形绕 $A$ 点旋转的过程中，当 $∠ E F C = 90 °$ 时，线段 $B E$ 的长为．

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16. 如图，正方形ABCD和正方形AEFG中，点E在AD上，如果AB=3，那么△BDF的面积等于．

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17. 如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在AC、AB上，且AD＝BE ，连接BD、CE交于点P ，在△ABC外部作∠ABF＝∠ABD ，过点A作AF⊥BF于点F ，若∠ADB＝∠ABF+90°，BF﹣AF＝3，则BP＝．

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18. 如图，已知正方形ABCD的边长是1，点E是CD边上的中点.P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿 $A \to B \to C \to E$ 运动，到达点E.若点P经过的路程为自变量x ， $Δ A P E$ 的面积为因变量y ，则当 $y = \frac{1}{5}$ 时，x的值等于．

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19. 如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△ $A' B' C'$ ，若∠BAC=90°，AB=AC= $\sqrt{2}$ ，则图中阴影部分的面积等于．

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20. 如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE= $\frac{1}{3}$ AD，CE交AB于点F。若AF=1.2cm，则AB=

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三、综合题

21. 请阅读下列解题过程：
解一元二次不等式：x²-5x＞0．
解：设x²-5x＝0，解得：x₁＝0，x₂＝5，则抛物线y＝x²-5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y＝x²-5x的大致图象（如图所示）．由图象可知：当x＜0或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x²-5x＞0．
所以一元二次不等式x²-5x＞0的解集为：x＜0或x＞5．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

(1)、上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的和．（只填序号）
①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．

(2)、用类似的方法解一元二次不等式：x²-2x-3＜0．

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22. 阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想 $- -$ 转化，把未知转化为已知.

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程x³+x²-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x²+x-2)=0，解方程x=0和x²+x-2=0，可得方程x³+x²-2x=0的解.

(1)、问题：方程x³+x²-2x=0的解是x₁=0，x₂= ， x₃=；

(2)、拓展：用“转化”思想求方程 $\sqrt{2 x + 3} = x$ 的解；

(3)、应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.

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23. 阅读下列材料，完成相应任务．
下表是2019－2020赛季 $C B A$ 职业联赛积分榜（部分球队）
球队
比赛场数
胜场
负场
积分
广东东莞银行
30
28
2
58
新疆伊力特
29
22
7
51
辽宁本钢
30
20
10
50
山东西王
30
19
11
49
山西汾酒
30
18
12
48
福建豹发力
30
13
17
43
小明和小亮不仅热爱篮球，而且对 $C B A$ 联赛积分问题产生了浓厚的兴趣．他们提出的问题是：“胜一场、负一场分别积几分？”

(1)、小明的思路是：设胜一场积x分，则根据“广东东莞银行”胜负场数与积分的关系可以用含x的式子表示负一场的积分为，再根据“新疆伊力特”胜负场与积分的关系可列一元一次方程．
小亮的解法是：设胜一场积x分，负一场积y分，………………………第一步
可得二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 20 x + 10 y = 50 ① \\ 19 x + 11 y = 49 ② \end{array}$ ………………………第二步
由①，得 $y = 5 - 2 x$ ③………………………第三步
将③代入②，得 $19 x + 11 (5 - 2 x) = 49$ ………………………第四步
解这个方程，得 $x = 2$ ………………………第五步
将 $x = 2$ 代入③中，得 $y = 1$ ………………………第六步
解得 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ ………………………第七步
答：胜一场积2分，负一积1分．……………………第八步
任务1：将小明的思路中的空格处填起来；

(2)、任务2：小亮的解法中，列方程①②根据的等量关系分别是：方程①；方程②：；

(3)、小亮解二元一次方程组的方法叫；

(4)、小亮的解法中，第四步主要体现的数学思想是（选正确选项的代码）
A．转化思想 B．一般到特殊思想
C．分类思想 D．数形结合思想
任务3：设胜一场积x分，负一场积y分，请你选择与小明和小亮不同的等量关系，列二元一次方程组．（只列不解）

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24. 如图，一次函数y=-x+1的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点 $C (- 2 ， m)$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、若点P在y轴正半轴上，且与点B，C构成以 $B C$ 为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的P点坐标．

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25. 数学中，运用整体思想方法在求代数式的值时非常重要．
例如：已知a²+2a＝2，则代数式2a²+4a+3＝2（a²+2a）+3＝2×2+3＝7．

请你根据以上材料解答以下问题：

(1)、若x²﹣3x＝4，求1﹣x²+3x的值．

(2)、当x＝1时，代数式px³+qx﹣1的值是5，求当x＝﹣1时，代数式px³+qx﹣1的值．

(3)、当x＝2020时，代数式ax⁵+bx³+cx+6的值为m ，直接写出当x＝﹣2020时，代数式ax⁵+bx³+cx+6的值．（用含m的代数式表示）

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26. 如图，A、B、C是数轴上的三点，O是原点，BO=3，AB=2BO，5AO=3CO．

(1)、写出数轴上点A、C表示的数；

(2)、点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN= $\frac{2}{3}$ CQ．设运动的时间为t（t>0）秒．
①求数轴上点M、N表示的数（用含t的式子表示）；

②t为何值时，M、N两点到原点的距离相等?

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27. 如图，直角三角板的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角板的两条直角边，OE平分∠AOD．

(1)、如图1，若∠COE=20°，则∠BOD=；若∠COE=α，则∠BOD=（用含α的代数式表示）；

(2)、将图1中三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，试猜测∠COE与∠BOD之间有怎样的数量关系，并说明理由．

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28. 已知，如图，实数a、b、c在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且a、b、c满足 ${(a + 8)}^{2} + {(b + 2)}^{2} + | c - 3 | = 0$ ．

(1)、求a、b、c的值；

(2)、若点A沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒.设运动时间为t（秒）．
①求2秒后，点A、B、C表示的数；

②运动t秒后，求点B和点C之间的距离（用“BC”表示）和点A和点B之间的距离（用“AB”表示）；（用含t的代数式表示）

③在②的基础上，请问：3×BC-AB的值是否随着时间t的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围；

(3)、若点A沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒.设运动时间为t（秒）．是否存在某一时刻，满足点A和点B之间的距离是点B和点C之间的距离的 $\frac{1}{2}$ ？若存在，直接写出时间t的值；若不存在，说明理由．

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29. 如图，抛物线y＝ax²＋bx＋3经过A （1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小?若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；不存在，请说明理由．

(3)、在（2）的条件下，点Q是线段OB上一动点，当△BPQ与△BAC相似时，求点Q的坐标．

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30. 如图，直线 $y = - x + 3$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图象相交于点A和点C，点A的坐标为（-1， a），点C的坐标为（b，-1）．

(1)、求a的值和反比例函数的解析式；

(2)、求b的值，并直接写出使得反比例函数大于一次函数的值的x的取值范围；

(3)、如图，直线 $y = - x + 3$ 与x轴相交于点B，在x轴上存在点D，使得△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求点D的坐标．

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球队	比赛场数	胜场	负场	积分
广东东莞银行	30	28	2	58
新疆伊力特	29	22	7	51
辽宁本钢	30	20	10	50
山东西王	30	19	11	49
山西汾酒	30	18	12	48
福建豹发力	30	13	17	43

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