备考浙教版中考数学题型专项训练图形的性质解答题专练-在线组卷题库

1. 如图，在

Δ A B C

中，

∠ B = 30 °

，

∠ C > ∠ B

，

A E

平分

∠ B A C

，交

B C

边于点

E

.

(1)、如图1，过点A作AD⊥BC于D ，若已知∠C=50° ，求∠EAD 度数；

(2)、如图2，过点

A

作

A D ⊥ B C

于

D

，若

A D

恰好又平分

∠ E A C

，求

∠ C

的度数；

(3)、如图3，CF平分△ABC 外角∠BCG ，交AE的延长线于点 F，作FD⊥BC 于D ，设∠ACB=n° ，试求∠DFE-∠AFC 的值.（用含有n的代数式表示）

(4)、如图4，在图3的基础上分别作

∠ B A E

和

∠ B C F

的角平分线，交于点

F_{1}

，作

F_{1} D_{1} ⊥ B C

于

D_{1}

，设

∠ A C B = n °

，试直接写出

∠ D_{1} F_{1} A - ∠ A F_{1} C

的值.（用含有

n

的代数式表示）

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2. 已知：直线AB∥CD，M，N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连HM，HN．

(1)、如图1，延长HN至G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．

①若∠BME=25°，∠END=75°，则∠H的度数为 ▲ ；

②探究∠MEN与∠MHN的数量关系，并给予证明；

(2)、如图2，∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E．作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延长线于点Q，若∠H＝150°，求∠ENQ的度数．

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3. 如图

(1)、如图1，点E在BC上，∠A＝∠D，∠ACB =∠CED．请说明 AB∥CD 的理由.

(2)、如图2，AB∥CD，BG 平分∠ABE，与∠EDF 的平分线交于 H 点，若∠DEB比∠DHB 大60°，求∠DEB 的度数．

(3)、保持（2）中所求的∠DEB 的度数不变，如图3，AB∥CD，BM 平分∠EBK，DN 平分∠CDE，作 BP∥DN，则∠PBM 的度数是否改变？若不变，请直接写出∠PBM 的度数；若改变，请说明理由．

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4. 如图，已知四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一点（不与点A，D重合），连接CE，以CE为一边作正方形CEFG，使点F，G与点A，B在CE的两侧，连接BE并延长，交GD延长线于点H．

(1)、如图1，请判断线段BE与GD的数量关系和位置关系，并说明理由；

(2)、如图2，连接BG，若AB＝2，CE＝

\sqrt{5}

，请你求出

\sqrt{D E^{2} + B G^{2}}

的值．

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5. 如图1，E是直线AB、CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．

(1)、探究猜想：

①若∠A=20°，∠D=50°，则∠AED= ▲ 度；

②若∠A=35°，∠D=45°，则∠AED= ▲ 度；

③猜想图1中∠AED、∠EAB、∠EDC的数量关系并证明你的结论．

(2)、拓展应用：

如图2，射线FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方），P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（直接写出结论，不要求证明）

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6. 如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE.

(1)、如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；

(2)、如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数.

(3)、如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H.若∠ACH＝

\frac{1}{2}

∠ECH请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系.

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7. 如图，已知

B C ∥ G E

，

A F ∥ D E

，

∠ 1 = 50 °

.

(1)、求

∠ A F G

的度数；

(2)、若

A Q

平分

∠ F A C

，交

B C

于点

Q

，且

∠ Q = 15 °

，求

∠ A C B

的度数.

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8. 如图，已知直线

A B / /

射线

C D

，

∠ C E B = 10 0^{0}

.

P

是射线

E B

上一动点，过点

P

作

P Q / / E C

交射线

C D

于点

Q

，连结

C P

.作

∠ P C F = ∠ P C Q

，交直线

A B

于点

F

，

C G

平分

∠ E C F

.

(1)、若点

P ， F ， G

都在点

E

的右侧.

①求 $∠ P C G$ 的度数；

②若 $∠ E G C - ∠ E C G = 4 0^{0}$ ，求 $∠ C P Q$ 的度数.

(2)、在点

P

的运动过程中，是否存在这样的情形，使

\frac{∠ E G C}{∠ E F C} = \frac{3}{2}

，若存在，求出

∠ C P Q

的度数；若不存在，请说明理由.

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9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒

\frac{5}{3}

个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．

(1)、当t=3时，求PD的长？

(2)、当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的一半？

(3)、是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

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10. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．

(1)、探究1：王宣同学看到图后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌△EFC就行了，随即王宣同学写出了如下的证明过程：

(2)、探究2：王宣同学继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论。

(3)、探究3：王宣同学进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程，若不成立请你说明理由。

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11. 如图1，直线y=

- \frac{3}{4}

x+6分别交x轴，y轴于点A，点B，点C、P分别是线段OB，AB的中点，动点D，E分别在直线CP和线段AB上，设点E的横坐标为m，线段CD的长为n（n>0），且m+n=6，以DO，DE为邻边作▱ ODEF．

(1)、求点A和点P的坐标．

(2)、如图2所示，当点D在点C左侧，且n=2时，求点F的坐标．

(3)、当点F落在△AOB的边OB或AB上时，求点F的坐标．

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12. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣4，0），（0，8），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE＝AO，设点P运动的时间为t秒．

(1)、当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；

(2)、当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；

(3)、在线段PE上取点F，使PF＝3，过点F作MN⊥PE，截取FM＝

\sqrt{3}

，FN＝1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．

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13. 在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)，B（b，0），C（0，c），且

\sqrt{a + 1}

+3|b﹣3|＋2（c＋2）²=0．

(1)、直接写出S_△_ACB=；

(2)、如图1，线段CB沿y轴正方向以每秒0.5个单位的速度匀速移动至DE（点C的对应点为D，点B的对应点为E），连接AD、OE．设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t值，使得3S_△_ACD＝2S_△_EOD？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

(3)、如图2，将线段AC往右平移3个单位长度至FG（点A的对应点为点F），线段FG与BC相交于点H．若在x轴上存在点M使得S_△_MCH=2，试求出点M的坐标．

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14. 如图，正方形OABC中，O为坐标原点，点A、点C分别落在y轴、x轴上，点B坐标为（﹣4，4），点D为x轴上任意一点，将线段DA绕点D逆时针旋转90°，得对应线段为DE，作直线EC交y轴于点F.

(1)、如图（1），当点D为OC的中点时，求点E的坐标；

(2)、如图（2），当点D在边OC上任意移动时，猜想：点F的位置是否发生变化？若不变，求出点F的坐标，若改变，请说明理由；

(3)、如图（3），当点D在x轴的正半轴上移动时，请在图（3）画出图形（不保留作图痕迹），并直接回答点F的位置与（2）中猜想的结论是否一致.

答：_（填“一致”或“不一致”）.

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15. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线PA是一次函数y＝x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y＝﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点.

(1)、用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；

(2)、若四边形PQOB的面积是

\frac{11}{2}

，且

C Q = \frac{1}{2} A O

，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；

(3)、在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

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16. 项目化学习：车轮的形状．

【问题提出】车轮为什么要做成圆形，这里面有什么数学原理?

(1)、

【合作探究】

探究 $A$ 组：如图1，圆形车轮半径为 $4 cm$ ，其车轮轴心 $O$ 到地面的距离始终为 $cm$ ．
探究 $B$ 组：如图2，正方形车轮的轴心为 $O$ ，若正方形的边长为 $4 cm$ ，求车轮轴心 $O$ 最高点与最低点的高度差．
探究 $C$ 组：如图3，有一个破损的圆形车轮，半径为 $4 cm$ ，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为 $90^{\circ}$ ，其车轮轴心为 $O$ ，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点 $O$ 经过的路程．

探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定．

(2)、

【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点 $A ， B ， C$ 为圆心，以正三角形的边长为半径作 $60^{\circ}$ 圆弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”．

探究

D

组：使 “莱洛三角形” 沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有 “最高点”，“中心点” 也在不断移动位置，那么在 “莱洛三角形” 滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的图案大致是．

延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心 $O$ 并不稳定．

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17. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝12cm，AD＝15cm，BC＝20cm，动点E从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，动点F从点C出发，在线段CB上以每秒2cm的速度运动到B点返回，点E、F分别从点A、C同时出发，当点E运动到点D时，点F随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．

(1)、用含t的代数式表示DE，DE＝；

(2)、若四边形EFCD是平行四边形，求此时t的值；

(3)、是否存在点F，使△FCD是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．

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18. 问题背景：在正方形ABCD的外侧，作△ADE和△DCF，连接AF，BE．

(1)、特例探究：如图1，若△ADE和△DCF均为等边三角形，试判断线段AF与BE的数量关系和位置关系，并说明理由；

(2)、拓展应用：如图2，在△ADE和△DCF中，

A E = D F

，

E D = F C

，且

B E = 4

，求四边形ABFE的面积？

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19. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，

A B = 10

，

C D = 6

，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连结AP交⊙O于点Q，连结CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．

(1)、如图1，当

D P = 4

时，求

\tan ∠ P

的值；

(2)、如图2，连结AC，DQ，在点P运动过程中，设

D P = x

，

\frac{S_{△ Q A C}}{S_{△ Q D C}} = y

．

①求证： $∠ A C Q = ∠ C P A$ ；

②求y与x之间的函数关系式．

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20. 如图1，四边形

A B C D

是

⊙ O

的内接四边形，其中

A B = A D

，对角线

A C 、 B D

相交于点

E

，在

A C

上取一点

F

，使得

A F = A B

，过点

F

作

G H ⊥ A C

交

⊙ O

于点

G 、 H

．

(1)、证明：

△ A E D ∽ △ A D C

；

(2)、如图 2，若

A E = 1

，且

G H

恰好经过圆心

O

，求

B C \cdot C D

的值；

(3)、若

A E = 1 ， E F = 2

，设

B E

的长为

x

．

①如图3，用含有 $x$ 的代数式表示 $△ B C D$ 的周长；

②如图4， $B C$ 恰好经过圆心 $O$ ，求 $△ B C D$ 内切圆半径与外接圆半径的比值．

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21. 四边形

A B C D

为

⊙ O

的内接四边形，

A B = C D

．

(1)、如图1，求证：

∠ B = ∠ C

；

(2)、如图2，

A E

为

⊙ O

的直径，连接

B E

，过点O作

C D

的垂线，点F为垂足，求证：

B E = 2 O F

；

(3)、如图3，在（2）的条件下，过点O作

A D

的垂线，点G为垂足，若

B A = B C

，

B E = 2

，

O G = \frac{5}{3}

，求

A D

的长．

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22. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．

(1)、求证：CD是⊙O的切线；

(2)、若⊙O的半径为

\sqrt{5}

， △ABC的面积为

2 \sqrt{5}

，求CD的长；

(3)、在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若

\frac{E F}{C F} = \frac{1}{2}

，求BF的长．

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23. 如图，⊙O是

△ A B C

的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交AC的延长线于点D，使得

∠ C B D = ∠ C A B

．过点A作

A E ⊥ B D

于点E，交⊙O于点F．

(1)、求证：BD是⊙O的切线；

(2)、若

A C = 4

，

s i n D = \frac{2}{3}

，则AE的长为．

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24. 已知AB为

⊙ O

直径，△PCD是

⊙ O

内接三角形，

A B = \sqrt{2} C D

．

(1)、如图1，求

∠ P

的度数；

(2)、如图2，PD交AB于点M，作

C E ⊥ A B

交AB于点E，连接CO并延长交PD于点N，若CP平分

∠ E C O

，求证：

O M = O N

；

(3)、如图3，在（2）的条件下，F是

⊙ O

外一点，FC是

⊙ O

的切线，FD∥PC，若

C F - C O = \frac{2}{3} O N

，

A E = 2

，求PD的长．

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25. 在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连接BE 交CD于点N，点P在CD的延长线上，连接PE，PN=PE：

(1)、求证：PE是⊙O的切线：

(2)、连接DE，若DE//AB，OF=3，BF=2，求PN的长。

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26. △ABC是⊙O的内接三角形，点P是⊙O上一点，且点P与点A在BC的两侧，连接PA，PB，PC．

(1)、如图①，若△ABC是等边三角形，则线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．

(2)、如图②，把（1）中的△ABC改为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，其他条件不变，三条线段PA，PB，PC还有以上的数量关系吗？说明理由．

(3)、如图③，把（1）中△ABC改为任意三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a时，其他条件不变，则PA，PB，PC三条线段的数量关系为（直接写结果）

(4)、由以上你能发现圆内接四边形的四条边和对角线有什么关系？

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27. 如图，

⊙ O

是四边形

A B C D

的外接圆，

A C

是

⊙ O

的直径，

B E ⊥ D C

，交

D C

的延长线于点E，

C B

平分

∠ A C E

．

\

(1)、求证：

B E

是

⊙ O

的切线；

(2)、若

C E = \frac{2}{3}

，

C B = C D

，求

A D

的长．

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28. 已知，如图1，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为△ABC外一点，且∠ADC＝90°，E为BC中点，AF∥BC，连接EF交AD于点G，且EF⊥ED交AC于点H，AF＝1．

(1)、若

\frac{A H}{C H} = \frac{1}{3}

，求EF的长；

(2)、在（1）的条件下，求CD的值；

(3)、如图2，连接BD，BG，若BD＝AC，求证：BG⊥AD．

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29. 如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是180°”的结论。小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的符合题意性．

受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把 $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 移动到 $∠ 3$ 的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了．

小明的证明过程如下：

已知：如图， $△ A B C$ ．求证： $∠ A + ∠ B + ∠ C = 180 °$ ．

证明：延长 $B C$ ，过点 $C$ 作 $C M / / B A$ ．

∴ $∠ A =$ ▲ （两直线平行，内错角相等），

$∠ B = ∠ 2$ （ ▲ ）．

∵ $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ A C B = 180 °$ （平角定义），

∴ $∠ A + ∠ B + ∠ A C B = 180 °$ ．

(1)、请你补充完善小明方法1的证明过程；

(2)、请你参考小明解决问题的方法1的思路，自行画图标注好顶点字母，写出方法2证明该结论的过程．

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30. 已知一角的两边与另一个角的两边平行，分别结合下图，试探索这两个角之间的关系，并证明你的结论．

(1)、如图1，AB∥EF，BC∥DE．∠1与∠2的关系是：；

(2)、如图2，AB∥EF，BC∥DE．∠1与∠2的关系是：；

(3)、经过上述证明，我们可以得到一个真命题：如果，那么．

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备考浙教版中考数学题型专项训练 图形的性质解答题专练

一、综合题

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