江西省赣州市石城县2022年九年级学生数学综合素养试题

试卷更新日期：2022-05-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. （2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2⁶⁴+1）﹣1的个位数字是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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2. 若实数x，y满足 ${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + x y = 7 \\ x^{2} + y^{2} - x y = 3 \end{matrix}$ ，则 $x^{2022} + y^{2022}$ 的值是（）

A、 $2^{2022} + 1$ B、 $2^{2022} - 1$ C、 $- 2^{2022} + 1$ D、 $- 2^{2022} - 1$

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3. 如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB的长度为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $\frac{4}{3}$

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4. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B = 10$ ， $P$ 是半径 $O A$ 上的一动点， $P C ⊥ A B$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，在半径 $O B$ 上取点 $Q$ ，使得 $O Q = C P$ ， $D Q ⊥ A B$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，点 $C ， D$ 位于 $A B$ 两侧，连结 $C D$ 交 $A B$ 于点 $E$ .点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $A O$ 向终点 $O$ 运动，在整个运动过程中， $Δ C E P$ 与 $Δ D E Q$ 的面积和的变化情况是（）

A、一直减小 B、一直不变 C、先变大后变小 D、先变小后变大

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5. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE.若AD平分 $∠ O A E$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象经过AE上的两点A，F，且 $A F = E F$ ， $△ A B E$ 的面积为18，则k的值为（）

A、6 B、12 C、18 D、24

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6. 若平面直角坐标系内的点 $M$ 满足横、纵坐标都为整数，则把点 $M$ 叫做“整点”．例如： $P (1 ， 0)$ 、 $Q (2 ， - 2)$ 都是“整点”．抛物线 $y = m x^{2} - 4 m x + 4 m - 2 (m > 0)$ 与 $x$ 轴交于A、 $B$ 两点，若该抛物线在A、 $B$ 之间的部分与线段 $A B$ 所围成的区域(包括边界)恰有七个整点，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{2} \leq m < 1$ B、 $\frac{1}{2} < m \leq 1$ C、 $1 < m \leq 2$ D、 $1 \leq m < 2$

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二、填空题

7. 已知 $a ， b (a \neq b)$ 满足 $a^{2} - 2 a - 1 = 0$ ， $b^{2} - 2 b - 1 = 0$ ，则 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} =$ ．

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8. 已知正整数x满足 $x^{2} + 5 x + 30$ 是完全平方数，则x的值是．

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9. 如图以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4，AO=6 $\sqrt{2}$ ，则AC=

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10. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，点D为BC边上一点， $B D = \frac{1}{2} D C = 2$ ，以点D为顶点作正方形DEFG，且 $D E = B C$ ，连接AE，AG.若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为.

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11. 如图 $1$ ，邻边长为 $2$ 和 $6$ 的矩形分割成①，②，③，④四块后，拼接成如图 $2$ 不重叠、无缝隙的正方形 $A B C D$ ，则图 $1$ 中 $E F$ 的长为．

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12. 平面直角坐标系中， $⊙ O$ 交 $x$ 轴正负半轴于点 $A$ 、 $B$ ，点 $P$ 为 $⊙ O$ 外 $y$ 轴正半轴上一点， $C$ 为第三象限内 $⊙ O$ 上一点， $P H ⊥ C B$ 交 $C B$ 延长线于点 $H$ ，已知 $∠ B P H = 2 ∠ B P O$ ， $P H = 15$ ， $C H = 24$ ，则 $tan ∠ B A C$ 的值为．

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三、解答题

13. 已知x₁、x₂是关于x的方程x²+2x+2k﹣4＝0两个实数根，并且x₁≠x₂ ．

(1)、求实数k的取值范围；

(2)、若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值；

(3)、若|x₁﹣x₂|＝6，求 ${(x_{1} - x_{2})}^{2} + 3 x_{1} x_{2} - 5$ 的值.

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14. 已知 $a + b + c = 0$ ，且 $\frac{b - c}{a} + \frac{c - a}{b} + \frac{a - b}{c} = 0$ ，求证： $\frac{b c + b - c}{b^{2} c^{2}} + \frac{c a + c - a}{c^{2} a^{2}} + \frac{a b + a - b}{a^{2} b^{2}} = 0$ ．

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15. 正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．

(1)、如图（1），双曲线y＝ $\frac{k_{1}}{x}$ 过点E，完成填空：点C的坐标是，点E的坐标是，双曲线的解析式是；

(2)、如图（2），双曲线y＝ $\frac{k_{2}}{x}$ 与BC，CD分别交于点M，N．求证： $M N ∥ B D$ ；

(3)、如图（3），将正方形ABCD向右平移m（m＞0）个单位长度，使过点E的双曲线y＝ $\frac{k_{3}}{x}$ 与AB交于点P．当 $△$ AEP为等腰三角形时，求m的值．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 8$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 分别与 $B C$ ， $A C$ 交于点 $D$ ， $E$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ A C$ ，垂足为点 $F$ ．

(1)、求证：直线 $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $B C^{2} = 4 C F \cdot A C$ ；

(3)、若点 $E$ 是半圆 $A D B$ 的一个三等分点，求出阴影部分的面积．

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17. 如图1，菱形ABCD中，AB＝6．∠B＝60°，四边形EFGB的顶点E ， G分别在边BC和AB上，EF∥CD ， FG∥AD ，连接FD ．

(1)、若DF平分∠ADC ，求证：四边形EFGB为菱形；

(2)、在（1）中的条件下，当EC＝2时，将四边形EFGB绕点B顺时针旋转至图2所示的位置，连接AG ．
①猜想AG与DF的数量关系，并加以证明；

②当GF过点C时，求sin∠GBC的值．

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18. 定义：点 $P (m ， m)$ 是平面直角坐标系内一点，将函数 $l$ 的图象位于直线 $x = m$ 左侧部分，以直线 $y = m$ 为对称轴翻折，得到新的函数 $l'$ 的图象，我们称函数 $l'$ 的函数是函数 $l$ 的相关函数，函数 $l'$ 的图象记作 $F_{1}$ ，函数 $l$ 的图象未翻折的部分记作 $F_{2}$ ，图象 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 合起来记作图象 $F$ ．例如：函数 $l$ 的解析式为 $y = x^{2} - 1$ ，当 $m = 1$ 时，它的相关函数 $l'$ 的解析式为 $y = - x^{2} + 3 (x < 1)$ ．

(1)、如图，函数 $l$ 的解析式为 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ ，当 $m = - 1$ 时，它的相关函数 $l'$ 的解析式为 $y =$ ．

(2)、函数 $l$ 的解析式为 $y = - \frac{3}{x}$ ，当 $m = 0$ 时，图象 $F$ 上某点的纵坐标为-2，求该点的横坐标．

(3)、已知函数 $l$ 的解析式为 $y = x^{2} - 4 x + 3$ ，
①已知点 $A$ 、 $B$ 的坐标分别为 $(0 ， 2)$ 、 $(6 ， 2)$ ，图象 $F$ 与线段 $A B$ 只有一个公共点时，结合函数图象，求 $m$ 的取值范围；

②若点 $C (x ， n)$ 是图象 $F$ 上任意一点，当 $m - 2 \leq x \leq 5$ 时， $n$ 的最小值始终保持不变，求 $m$ 的取值范围（直接写出结果）．

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