广东省中山市2022年九年级第二次模拟考试数学试卷

试卷更新日期：2022-05-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列实数中，是无理数的是（）

A、3.14159 B、1.101010101… C、 $\frac{22}{7}$ D、1.1010010001…

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2. 据报道，2022年全国高考报名人数达到1120万，这是连续第四年全国高考人数超过1000万，其中1120万用科学记数法表示为（）

A、 $0.112 \times 10^{8}$ B、 $1.12 \times 10^{3}$ C、 $1.12 \times 10^{7}$ D、 $11.2 \times 10^{6}$

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3. 下列图形中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 数列5，3，4，6，8，7的中位数是（）

A、4 B、6 C、5.5 D、5

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ C、 ${(a b)}^{2} = a b^{2}$ D、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$

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6. 若长度分别是2，3，a的三条线段能组成一个三角形，则a的取值不可能是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 直径， $∠ B E C = 29 ° ， ∠ D F C = 34 °$ ，则 $∠ A O D$ 等于（）

A、 $60 °$ B、 $44 °$ C、 $54 °$ D、 $65 °$

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8. 已知关于x的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有实数根，则m的取值范围是（）

A、 $m \leq 2$ 且 $m \neq 1$ B、 $m \geq 0$ C、 $m \geq 0$ 且 $m \neq 1$ D、 $m < 0$ 且 $m \neq 1$

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9. 一把直尺和一块三角尺如图放置， $∠ 1 = 39 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $51 °$ B、 $59 °$ C、 $61 °$ D、 $69 °$

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $(- 1 ， 0)$ ，l是其对称轴，则下列结论：① $a b c > 0$ ；② $a - b + c = 0$ ；③ $2 a + b > 0$ ；④ $a + 2 c < 0$ ；其正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 若代数式 $\sqrt{x - 3}$ 在实数范围内有意义，则实数 $x$ 的取值范围是．

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12. 分解因式： $a^{3} - 9 a =$ ．

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13. 某人工养殖池塘共有草鱼5000条和其它鱼类若干条，几次随机打捞中共捕获鱼300条，其中草鱼150条，试估计池塘中共养殖鱼条．

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14. 一个多边形的每个内角都是 $144 °$ ，则该多边形内角和为．

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15. 将点 $A (m - 2 ， \frac{5 m - 2}{3})$ 向左平移 $a (a > 0)$ 个单位长度，向上平移 $b (b > 0)$ 个单位长度，得到点 $A_{1} (2 m - 3 ， 2 m + 1)$ ，则m的取值范围是．

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16. 小明喜欢构建几何图形，利用“数形结合”的思想解决代数问题．在计算 $\tan 22.5 °$ 时，如图，在 $R t △ A C B$ 中， $∠ C = 90 ° ， ∠ A B C = 45 °$ ，延长 $C B$ 使 $B D = A B$ ，连接 $A D$ ，得 $∠ D = 22.5 °$ ，所以 $\tan 22.5 ° = \frac{A C}{C D} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$ ，类比小明的方法，计算 $\tan 15 °$ 的值为．

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17. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C = 3 ， ∠ A D C = 120 °$ ，点E为对角线 $A C$ 上的一动点，则 $E A + E B + E D$ 的最小值为．

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三、解答题

18. 先化简，再求值： $(a + \frac{1}{a - 2}) \div \frac{a^{2} - 1}{a - 2}$ ，其中a从 $- 1$ ，0，1中取一个合适的数代入求值．

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19. 甲、乙两人各自随机选择到A，B，C三个餐厅进行用餐，用列表或画树状图法求出这两人在同一个餐厅用餐的概率．

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20. 如图， $△ A B C$ 是直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ．

(1)、在 $A B$ 上作一点D，使得 $C D ⊥ A B$ （要求尺规作图，不写做法，保留作图狼迹）；

(2)、在（1）的条件下，若 $C D = 2 \sqrt{3} ， ∠ B = 30 °$ ，求 $A B$ 的长．

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21. 如图，已知 $▱ A B C D$ 中，点E是 $C D$ 的中点，连接 $A E$ 并延长到与 $B C$ 的延长线相交于点F，连接 $A C ， D F$ ．

(1)、求证： $A C = D F$ ；

(2)、若 $A C ⊥ B F ， \cos B = \frac{\sqrt{5}}{5} ， A C = 4$ ，求 $A F$ 的值．

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22. 有一些相同的房间需要粉刷墙面，一名二级技工粉刷6个房间，5天正好完成；一名一级技工3天粉刷了4个房间还多刷了另外的 ${10m}^{2}$ 墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷 ${10m}^{2}$ 墙面．

(1)、求每个房间需要粉刷的墙面面积；

(2)、若甲乙两名技工各自需粉刷7个房间的墙面，甲比乙每天少粉刷 ${20m}^{2}$ ，乙比甲少用2天完成任务，求甲、乙两名技工每天各粉刷墙面面积．

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23. 如图，过点 $A (2 ， 1)$ 的双曲线 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 与过点C的双曲线 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 关于y轴对称，点D在y轴上，点B在x轴上，四边形 $A B C D$ 为矩形且 $C B = 2 A B$ ．

(1)、求出k的值；

(2)、求 $C B$ 的长．

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24. 如图，点C是以 $A B$ 为直径的半圆O上的动点， $O B = 2 \sqrt{10}$ ，连接 $B C ， O C ， A C$ ，点D是 $\overset{⌢}{B C}$ 上一动点，连接 $C D ， A D$ ，且 $A D$ 与 $O C$ 相交于点F．过点C作 $C E$ 与 $B A$ 的延长线交于点E使得 $∠ E C A = ∠ C D A$ ．

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、当四边形 $C E A D$ 是平行四边形时，判断 $△ A O C$ 形状，并说明理由；

(3)、当点F为 $O C$ 中点且 $∠ C A D = 45 °$ 时，求 $A F$ 的长．

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25. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (- 4 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ 两点，与y轴相交于点C，直线 $y = k x + b_{1}$ 经过点A，C．

(1)、求抛物线和直线 $A C$ 函数解析式；

(2)、若点D是y轴左侧抛物线上一点，且 $D C = D A$ ，求点D的坐标；

(3)、在抛物线对称轴上是否存在一点E，使线段 $E A$ 绕点E逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $E A_{1}$ 且 $A_{1}$ 刚好落在抛物线上？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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