广东省深圳市27校2022年九年级4月联考（二模）数学试题

试卷更新日期：2022-05-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. －3的绝对值是（）

A、－3 B、1 C、3 D、 $- \frac{1}{3}$

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2. 如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 在数轴上表示不等式 $x > - 1$ 的解集正确的是（）．

A、 B、 C、 D、

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4. 数据2、3、7、8、a的平均数是5，则这组数据的中位数是（）

A、4 B、4.5 C、5 D、6

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5. 将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起，若 $∠ 1 = 30 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $10 °$ B、 $15 °$ C、 $20 °$ D、 $30 °$

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6. 下列计算正确的是（）

A、 $6 a b - 3 a = 3 b$ B、 ${(- 3 a^{2} b)}^{2} = 6 a^{4} b^{2}$ C、 ${(a - 1)}^{2} = a^{2} - 1$ D、 $5 a^{2} b \div b = 5 a^{2}$

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7. 下列尺规作图，能确定AD＝BD的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，点A到点C的距离为200米，要测量河对岸B点到河岸 $A D$ 的距离．小明在A点测得B在北偏东 $60 °$ 的方向上，在C点测得B在北偏东 $30 °$ 的方向上，则B点到河岸 $A D$ 的距离为（）

A、100米 B、200米 C、米 $\frac{200 \sqrt{3}}{3}$ D、 $100 \sqrt{3}$ 米

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9. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x=−1，则下列结论：①abc>0，②a+b<−c，③4a−2b+c>0，④3b+2c<0，⑤a−b＜m(am+b)（其中m为任意实数）中正确的个数是（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 中，E、F分别为边 $A D 、 D C$ 上的点，且 $A E = F C$ ，过F作 $F H ⊥ B E$ ，交 $A B$ 于G，过H作 $H M ⊥ A B$ 于M，若 $A B = 9 ， A E = 3$ ，则下列结论中：
① $∠ B G F = ∠ C F B$ ；② $\sqrt{2} D H = E H + F H$ ；③ $\frac{H M}{A E} = \frac{3}{5}$ ，其中结论正确的是（）

A、只有①② B、只有①③ C、只有②③ D、①②③

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二、填空题

11. 因式分解： $3 a^{3} - 12 a =$ .

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12. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + 6 x - a = 0$ 的一个根是3，则另一个根是．

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13. 如图，A，B，C是 $⊙ O$ 上的三个点， $∠ A O B = 40 ° ， ∠ B = 50 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为．

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14. 如图，在平面直角坐标系中有 $R t △ A B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ B = 45 °$ ，A（3，0）、C（1， $\frac{1}{2}$ ），将 $△ A B C$ 沿x轴的负方向平移，在第二象限内B、C两点的对应点 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 正好落在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，则 $k =$ ．

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15. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $A D = 9$ ，点E是对角线 $B D$ 上一点，连接 $A E$ ，过点E作 $E F ⊥ A E$ ，交 $B C$ 于点F，连接 $A F$ ，交 $B D$ 于点G，将 $△ E F G$ 沿 $E F$ 翻折，得到 $△ E F M$ ，连接 $A M$ ，交 $E F$ 于点N，若 $B F = \frac{1}{3} B C$ ，则线段 $A M$ 的长是．

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三、解答题

16. 先化简，再求值 $(1 + \frac{4}{x - 3}) \div \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 x - 6}$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 1$ ．

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17. 为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数分布直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．

组别（次）

频数

100～130

48

130～160

96

160～190

m

190～220

72

(1)、求m的值；

(2)、把频数分布直方图补充完整；

(3)、求该年级一分钟跳绳次数在160次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．

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18. 如图，在单位长度为1的正方形网格中建立直角坐标系，一条圆弧恰好经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：

(1)、利用网格找出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点的坐标为；

(2)、连接AD、CD，若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为；

(3)、连接AB，将线段AB绕点D旋转一周，求线段AB扫过的面积．

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19. 如图，在 $R t △ A B C$ 中，点O在斜边 $A B$ 上，以O为圆心， $O B$ 为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接 $A D$ ．已知 $∠ C A D = ∠ B$ ．

(1)、求证： $A D$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、若 $B C = 12 ， \tan B = \frac{1}{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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20. 某地区以移动互联和大数据技术支持智慧课堂，实现学生的自主、个性和多元学习，全区学生逐步实现上课全部使用平板电脑．某公司根据市场需求代理甲，乙两种型号的平板，每台甲型平板比每台乙型平板进价多600元，用6万元购进甲型平板与用4.5万元购进乙型平板的数量相等．

(1)、求每台甲型、乙型平板的进价各是多少元？

(2)、该公司计划购进甲，乙两种型号的平板共80台进行试销，其中甲型平板为m台，购买资金不超过17.76万元．并且甲型平板不少于乙型平板的2倍，试销时甲型平板每台售价2800元，乙型平板每台售价2400元，问该公司有几种进货方案？并求出这几种方案中，销售完后获得的利润W的最大值．

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21. 胡老师的数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C = x ， B C = y ， ∠ B A C = α (0 ° < α < 180 °)$ ，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接 $C P$ ，将线段 $C P$ 绕点P顺时针旋转 $α$ ，得线段 $P D$ ，连接 $C D 、 A P$ 点E、F分别为 $B C 、 C D$ 的中点，设直线 $A P$ 与直线 $E F$ 相交所成的较小角为 $β$ ，探究 $\frac{E F}{A P}$ 的值和 $β$ 的度数与x、y、 $α$ 的关系．

请您参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

(1)、填空：
【问题发现】

小明研究了 $α = 60 °$ 时，如图1，求出了 $\frac{E F}{A P}$ 的值和 $β$ 的度数分别为 $\frac{E F}{A P} =$ ， $β =$ ；

小红研究了 $α = 90 °$ 时，如图2，求出了 $\frac{E F}{A P}$ 的值和 $β$ 的度数分别为 $\frac{E F}{A P} =$ ， $β =$ ；

【类比探究】

他们又共同研究了 $α = 120 °$ 时，如图3，也求出了 $\frac{E F}{A P}$ 的值和 $β$ 的度数；

【归纳总结】

最后他们终于共同探究得出规律： $\frac{E F}{A P} =$ （用含x、y的式子表示）； $β =$ （用含 $α$ 的式子表示）

(2)、求出 $α = 120 °$ 时 $\frac{E F}{A P}$ 的值和 $β$ 的度数（注：要求写出具体解题过程，否则得零分）．

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22. 如图，已知抛物线C：y=x²+bx+c经过点A(0，−4) ，B(4，0)．

(1)、求b，c的值；

(2)、连结AB，交抛物线C的对称轴于点M．
①求点M的坐标；

②将抛物线C向左平移m(m>0)个单位得到抛物线C₁ ．过点M作MN∥y轴，交抛物线C₁于点N．P是抛物线C₁上一点，横坐标为−1，过点P作PE∥x轴，交抛物线C于点E，点E在抛物线C对称轴的右侧．若PE+MN= $\frac{27}{4}$ ，求m的值．

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组别（次）	频数
100～130	48
130～160	96
160～190	m
190～220	72