广东省揭阳市2022年初中学业水平考试第一次模拟考试数学试题

试卷更新日期：2022-05-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列二次根式中，最简二次根式是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{8}$ C、 $2 \sqrt{12}$ D、 $3 \sqrt{18}$

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2. 新型冠状病毒也叫2019－nCOV，该病毒比细胞小得多，大小约为150nm(纳米)，即为0.00000015米，约为一根头发丝直径的千分之一，数据0.00000015米用科学记数法表示为（）

A、0.15×10^－7米 B、1.5×10^－7米 C、1.5×10^－8米 D、0.15×10^－8米

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3. 如图，直线a∥b，射线DC与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1=25°，则∠2的度数为（）

A、105° B、115° C、125° D、165°

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $x^{3} \cdot x^{4} = x^{12}$ B、 $x^{2} y \div \frac{1}{12} = 2 x y$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ D、 ${(- 2 x^{3})}^{2} = 4 x^{6}$

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5.
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA的延长线上，∠FDA=∠B，AC=6，AB=8，则四边形AEDF的周长为（　　）

A、8 B、16 C、10 D、20

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6. 方程|4x－8|＋ $\sqrt{x - y - m}$ ＝0，当y＞0时，m的取值范围是（）

A、0＜m＜1 B、m≥2 C、m＜2 D、m≤2

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7. 如图，在正方体中，沿对角线BD和顶点A所在的平面截出几何体A﹣BCD，则这个几何体的展开图可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的顶点为(1，5)，那么关于x的一元二次方程 $- x^{2} + b x + c = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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9. 为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，24小时运转，该条生产线计划加工320万支疫苗，前5天按原计划的速度生产，5天后以原来速度的1.25倍生产，结果比原计划提前3天完成任务．设原计划每天生产 $x$ 万支疫苗，则可列方程为（）

A、 $\frac{320}{x} = \frac{320}{1.25 x} - 3$ B、 $\frac{320 - 5 x}{x} = \frac{320 - 5 x}{1.25 x} - 3$ C、 $\frac{320}{x} = \frac{320}{1.25 x} + 3$ D、 $\frac{320 - 5 x}{x} = \frac{320 - 5 x}{1.25 x} + 3$

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10. 如图， $A B$ 是⊙O的直径， $∠ A C B$ 的平分线交⊙O于点 $D$ ，连接 $A D$ ， $B D$ ，给出下列四个结论：① $∠ A C B = 90 °$ ；② $△ A B D$ 是等腰直角三角形；③ $A D^{2} = D E \cdot C D$ ；④ $A C + B C = \sqrt{2} C D$ ．其中正确的结论是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

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二、填空题

11. 数据：3、5、4、5、2、3的中位数是．

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12. 分解因式： $a^{2} - 2 a b + b^{2} - 4 =$ ．

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13. 抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} + 3$ 关于x轴对称的抛物线的解析式是．

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14. 不等式组 ${\begin{matrix} x - 1 \leq 2 - 2 x \\ \frac{2 x}{3} > \frac{x - 1}{2} \end{matrix}$ 的解集是．

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15. 如图，分别以等边三角形 $A B C$ 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形叫作莱洛三角形，若 $A B = 5$ ，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为．

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16. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE＝3，则sin∠BFD的值为．

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17. 如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是

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三、解答题

18. 小颖用下面的方法求出方程

2 \sqrt{x} - 3 = 0

的解．

方程	换元法得新方程	解新方程	检验	求原方程的解
$2 \sqrt{x} - 3 = 0$	令 $\sqrt{x} = t$ ，则 $2 t - 3 = 0$	$t = \frac{3}{2}$	$t = \frac{3}{2} > 0$	$\sqrt{x} = \frac{3}{2}$ ，所以 $x = \frac{9}{4}$

请你仿照小颗的方法求出方程 $x + 2 \sqrt{x} - 3 = 0$ 的解．

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19. 如图，已知点E、C在线段BF上，且BE=CF，CM∥DF，

(1)、作图：在BC上方作射线BN，使∠CBN=∠1，交CM的延长线于点A（用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、在（1）的条件下，求证：AC=DF．

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20. 2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为A₁、A₂ ，正面印有雪容融图案的卡片记为B，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片．

(1)、从这三张卡片中随机挑选一张，是“冰墩墩”的概率是；

(2)、请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率．

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21. 如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD ， BC交于M ， N两点，连接CM ， AN ．

(1)、求证：四边形ANCM为平行四边形；

(2)、若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC ，求DM的长．

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22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交AB于E点，连接DE．若OD=5， $\tan ∠ C O D = \frac{4}{3}$ ．

(1)、求过点D的反比例函数的解析式；

(2)、求 $Δ D B E$ 的面积；

(3)、x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形，请直接写出P点的坐标．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，OB与y轴相交于另一点G．

(1)、求证：BC是⊙F的切线；

(2)、若点A、D的坐标分别为A(0，－1)，D(2，0)，求 $⊙ F$ 的半径；

(3)、求证：AF= $\frac{1}{2}$ AD+CD．

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24. 火炬村在推进美丽乡村建设中，决定建设“火炬幸福广场”，计划铺设相同大小、规格的红色和蓝色地砖，经过调查，获取信息如下表：

类别	购买数量低于500块	购买数量不低于500块
红色地砖	原价销售	以八折销售
蓝色地砖	原价销售	以九折销售

若购买红色地砖400块，蓝色地砖600块，需付款8600元；若购买红色地砖1000块，蓝色地砖350块，需付款9900元．

(1)、红色地砖和蓝色地砖的单价各多少元？

(2)、经过测算，现需要购置地砖1200块，其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不超过600块，如何购买花费最少？最少是多少元？请说明理由．

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25. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ (a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C(0，2)，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；

(3)、点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由

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