贵州省毕节市2022届高三理数诊断性考试试卷（三）

试卷更新日期：2022-05-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 10}$ ，集合 $A = {3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，若图中阴影部分表示的集合是 ${3 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9}$ ，则集合 $B =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 7 ， 8 ， 9}$ B、 ${3 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9}$ C、 ${4 ， 5 ， 7 ， 8 ， 9}$ D、 ${1 ， 2 ， 10}$

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2. 已知复数 $z$ 在复平面内对应的点与复数 $3 - 2 i$ 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $3 + 2 i$ B、 $2 - 3 i$ C、 $- 3 - 2 i$ D、 $- 3 + 2 i$

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3. 20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级 $M$ ，其计算公式为 $M = l g A$ $- l g A_{0}$ ，其中 $A$ 是被测地震的最大振幅， $A_{0}$ 是“标准地震”的振幅．假设在一次地震中，一个距离震中 $1000$ 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 $200$ ，此时标准地震的振幅是 $0.002$ ，计算这次地震的震级为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 中，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} a_{3} = 4$ ， $S_{3} = 7$ ，则公比 $q$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、2或 $\frac{1}{2}$ D、2或 $- \frac{1}{2}$

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5. 设有下列四个命题：
$p_{1}$ ：“ $\exists x_{0} < 0$ ，使得 $l n (x_{0} + 1) < 0$ ”的否定是“ $\forall x \geq 0$ ，都有 $l n (x + 1) \geq 0$ ”；
$p_{2}$ ：若函数 $f (x)$ 是奇函数，则必有 $f (0) = 0$ ；
$p_{3}$ ：函数 $y = f (2 - x)$ 的图象可由 $y = f (- x)$ 的图象向右平移2个单位得到；
$p_{4}$ ：若幂函数 $y = x^{n}$ 的图象与坐标轴没有公共点，则 $n < 0$ ．
则下述命题中真命题是（）

A、 $p_{1} \lor p_{4}$ B、 $\neg p_{2} \land p_{3}$ C、 $p_{1} \lor \neg p_{3}$ D、 $p_{2} \land \neg p_{4}$

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6. 已知50个产品中，有35个产品长度合格，45个产品质量合格，20个产品长度和质量都合格，现任取一个产品，若它的质量合格，则它的长度也合格的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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7. 已知向量 $\vec{m} 、 \vec{n}$ 是非零向量，λ、 $μ \in R$ ，则“ $| \vec{m} | = | \vec{n} |$ ”是“ $| λ \vec{m} + μ \vec{n} | - | μ \vec{m} + λ \vec{n} | = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 在正四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面边长为 $2 \sqrt{2}$ ，侧棱长为4，点P是底面ABCD内一动点，且 $S P = \sqrt{13}$ ，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{1}{10}$

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9. 曲线 $y = 1 + \sqrt{1 - x^{2}}$ 与直线 $(2 k + 1) x - (k + 1) y + 1 = 0$ 有两个交点，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， + ∞)$ B、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (- \frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{3})$

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10. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是棱 $A_{1} D_{1}$ ， $A_{1} A$ 的中点，点 $O$ 为对角线 $A C$ ， $B D$ 的交点，若平面 $E O F ∩$ 平面 $A B C D = l$ ， $l ∩ A B = G$ ，且 $A G = k G B$ ，则实数 $k =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11. 已知 $a = \frac{3}{l n 3}$ ， $b = e$ ， $c = \frac{e^{2}}{2}$ （ $e$ 为自然对数的底数），则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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12. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $G$ 是椭圆 $C$ 的左顶点，点 $M$ 在过 $G$ 且斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ 的直线上， $△ M F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形， $∠ F_{1} F_{2} M = 150 °$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{11}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3} + 1}{11}$

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二、填空题

13. 二项式 ${(\frac{1}{\sqrt{x}} - x)}^{7}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为（用数字作答）.

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14. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点， $M$ 为右支上一点，若 $2 | M F_{1} | = 3 | M F_{2} |$ ，则双曲线 $C$ 经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围为．

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} s i n ω x + \frac{\sqrt{3}}{2} c o s ω x (ω > 0)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有3个零点，则 $ω$ 的取值范围为．

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16. 定义：若有穷数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n} (n \in N^{*})$ ，满足 $a_{1} = a_{n}$ ， $a_{2} = a_{n - 1}$ ， …， $a_{n} = a_{1}$ ，即 $a_{i} = a_{n - i + 1}$ （ $i \in N^{*}$ ，且 $1 \leq i \leq n$ ），则称该数列为“对称数列”．若数列 ${b_{n}}$ 是项数为 $2 k - 1 (k \in N^{*})$ 的对称数列，且 $b_{k}$ ， $b_{k + 1}$ ， …， $b_{2 k - 1}$ 构成首项为 $30$ ，公差为 $- 2$ 的等差数列，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 k - 1$ 项的和为 $S_{2 k - 1}$ ，则 $S_{2 k - 1}$ 取得最大值时 $k$ 的值为．

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三、解答题

17. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $s i n (\frac{π}{2} - C) c o s (\frac{π}{6} - C) + \sqrt{3} s i n^{2} C = \sqrt{3}$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 中 $A B$ 边上的高的最大值．

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18. 甲､乙两名选手争夺一场比赛的冠军.比赛采取五局三胜制，即某选手率先获得三局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军.根据两人以往对战的经历，甲乙在一局比赛中获胜的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{1}{3}$ ，没有平局且每局比赛的结果相互独立.

(1)、求经过四局比赛且甲夺得冠军的概率；

(2)、若每场比赛获胜的一方得2分，失败的一方得 $- 1$ 分.设比赛结束时甲的得分为X，求随机变量X的分布列与数学期望.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = 4$ ， △ $P C D$ 是边长为2的正三角形，平面PCD⊥平面ABCD， $∠ A D C = ∠ D A B = 90 °$ ，点E，F，H分别是线段PB，PC，AB的中点.

(1)、求证：点H在平面DEF内；

(2)、若二面角 $E - D F - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ ，求三棱锥 $P - A D F$ 的体积.

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20. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，且点 $F$ 与 $⊙ M ： x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 上点的距离的最大值为 $\frac{11}{4}$ ．

(1)、求 $p$ ；

(2)、当 $0 < p \leq 1$ 时，设 $B$ ， $D$ ， $E$ 是抛物线 $C$ 上的三个点，若直线 $B D$ ， $B E$ 均与 $⊙ M$ 相切，求证：直线 $D E$ 与 $⊙ M$ 相切．

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21. 已知函数 $f (x) = x l n 2 x + k x (k \in R)$ .

(1)、若 $f (x) ≤ x^{2} + x$ 恒成立，求实数k的取值范围；

(2)、当 $k = - 1$ 时，设函数 $g (x) = f (x) - a x^{2}$ ，若对任意 $a < 0$ ，存在 $x_{0} \in [1 ， m]$ ，使得 $| g (x_{0}) | \geq x_{0}$ 成立，求实数m的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = c o s α \\ y = \sqrt{2} s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），曲线 $C_{2} ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ ，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若曲线 $θ = \frac{π}{4} (ρ > 0)$ 与曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 分别交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $| M N |$ ．

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23. 已知 $f (x) = | a x + a - 4 | + x + 1$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，解不等式 $f (x) < 9$ ；

(2)、若 $x \geq 2$ 时， $f (x) \leq {(x + 2)}^{2}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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