广东省2022届高三数学三模试卷

试卷更新日期：2022-05-16 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | e^{x} < 1}$ ， $B = {x | l n x < 0}$ ，则（）

A、 $A ∪ B = {x | x < 1}$ B、 $A ∩ B = \emptyset$ C、 $A \subseteq B$ D、 $B \subseteq A$

查看试题解析
2. 设复数z满足 $i z = 1 + i$ ，则 $| z^{2} - z \bar{z} | =$ （）

A、0 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

查看试题解析
3. 已知直线 $l ： y = k x + 1$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，则“ $k = 0$ ”是“ $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 古希腊数学家帕普斯提出著名的蜂窝猜想，认为蜂窝的优美形状，是自然界最有效劳动的代表.他在《汇编》一书中对蜂房的结构作出精彩的描写“蜂房是由许许多多的正六棱柱组成，一个挨着一个，紧密地排列，没有一点空隙.蜜蜂凭着自己本能的智慧选择了正六边形，因为使用同样多的原材料，正六边形具有最大的面积，从而可贮藏更多的蜂蜜.”某兴趣小组以蜂窝为创意来源，制作了几个棱长均相等的正六棱柱模型，设该正六棱柱的体积为 $V_{1}$ ，其外接球的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ =（）

A、 $\frac{3}{π}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{16 π}$ C、 $\frac{9 \sqrt{15}}{25 π}$ D、 $\frac{9 \sqrt{3}}{64 π}$

查看试题解析
5. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线的左､右焦点， $M$ 是双曲线右支上一点连接 $M F_{1}$ 交双曲线 $C$ 左支于点 $N$ ，若 $△ M N F_{2}$ 是以 $F_{2}$ 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

查看试题解析
6. 将5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温､信息登记､维持秩序､现场指引4个岗位，每名志愿者只分配1个岗位，每个岗位至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有（）

A、120种 B、240种 C、360种 D、480种

查看试题解析
7. 已知函数 $f (x) = 3 c o s (ω x - \frac{2 π}{3}) (ω > 0)$ ，且f（x）在[0， $π$ ]有且仅有3个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、[ $\frac{5}{3}$ ， $\frac{8}{3}$ ） B、[ $\frac{5}{3}$ ， $\frac{13}{6}$ ） C、[ $\frac{7}{6}$ ， $\frac{13}{6}$ ） D、[ $\frac{13}{6}$ ， $\frac{19}{6}$ ）

查看试题解析
8. 在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数 $φ (n)$ （ $n \in N^{*}$ ）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如： $φ (1) = 1$ ； $φ (3) = 2$ （与3互素有1､2）； $φ (9) = 6$ （与9互素有1､2､4､5､7､8）.记 $S_{n}$ 为数列 ${n \cdot φ (3^{n})}$ 的前n项和，则 $S_{10}$ =（）

A、 $\frac{19}{2} \times 3^{10} + \frac{1}{2}$ B、 $\frac{21}{2} \times 3^{10} + \frac{1}{2}$ C、 $\frac{19}{4} \times 3^{11} + \frac{3}{4}$ D、 $\frac{21}{4} \times 3^{11} + \frac{1}{4}$

查看试题解析

二、多选题

9. 一部机器有甲乙丙三个易损零件，在一个生产周期内，每个零件至多会出故障一次，工程师统计了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数得到如下柱状图，由频率估计概率，在一个生产周期内，以下说法正确的是（）

A、至少有一个零件发生故障的概率为0.8 B、有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更大 C、乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大 D、已知甲零件发生了故障，此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大

查看试题解析
10. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且 $O P = \sqrt{2}$ ，弦AC､BD均过点P，则下列说法正确的是（）

A、 $(\vec{O D} + \vec{O B}) \cdot \vec{D B} = 0$ B、 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 为定值 C、 $\vec{O A} \cdot \vec{O C}$ 的取值范围是[-2，0] D、当 $A C ⊥ B D$ 时， $\vec{A B} \cdot \vec{C D}$ 为定值

查看试题解析
11. 已知 $a ， b \in R$ ， e是自然对数的底，若 $b + e^{b} = a + l n a$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的取值可以是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1$ ，点P满足 $\vec{C P} = λ \vec{C D} + μ {\vec{C C}}_{1}$ ，其中 $λ \in [0 ， 1] ， μ \in [0 ， 1]$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $B_{1} P / /$ 平面 $A_{1} B D$ 时， $B_{1} P$ 可能垂直 $C D_{1}$ B、若 $B_{1} P$ 与平面 $C C_{1} D_{1} D$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，则点P的轨迹长度为 $\frac{π}{2}$ C、当 $λ = μ$ 时， $| \vec{D P} | + | \vec{A_{1} P} |$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{2}$ D、当 $λ = 1$ 时，正方体经过点 $A_{1}$ ､P､C的截面面积的取值范围为[ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ， $\sqrt{2}$ ]

查看试题解析

三、填空题

13. 在数列{ $a_{n}$ }中， $a_{3} = 3$ ， $3 a_{n + 1} = a_{n}$ ， $S_{n}$ 为{ $a_{n}$ }的前n项和，则 $S_{4}$ =.

查看试题解析
14. 已知 $t a n α = 2$ ，则 $s i n (2 α - \frac{π}{4}) =$ .

查看试题解析
15. 已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，F₁ ， F₂为C的两个焦点，C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得 $| P F_{1} | = 6 | P F_{2} |$ ，写出C的一个标准方程：.

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = 1 + 2 l o g_{2} (1 + x)$ （ $x \in (- 1 ， + \infty)$ ）.

(1)、 $\forall x \in (- 1 ， + \infty)$ ， $f (1 + 2 x) - f (x) =$ ；

(2)、若m，n满足 $f (m - 1) + f (n - 2) = f (n) - 1$ ，则 $m + n$ 的最小值是.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知△ABC中， $a ， b ， c$ 分别为内角 $A ， B ， C$ 的对边，且 $2 a s i n A = (2 b + c) s i n B + (2 c + b) s i n C$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、设点 $D$ 为 $B C$ 上一点， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，且 $A D = 2$ ， $b = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

查看试题解析
18. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形， $A B = 2$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ，顶点P在底面ABCD的正投影为AD的中点O.

(1)、求证：平面PAC⊥平面POB

(2)、若平面PAB与平面PCD的交线为l， $P D = 2$ ，求l与平面PAC所成角的大小.

查看试题解析
19. 已知数列{ $a_{n}$ }的前n项和 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} > 0$ ， $a_{n} a_{n + 1} = 4 S_{n} - 1$ .

(1)、计算 $a_{2}$ 的值，求{ $a_{n}$ }的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n} a_{n + 1}$ ，求数列{ $b_{n}$ }的前n项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
20. 学习强国APP从2021年起，开设了一个“四人赛”的答题模块，规则如下：用户进入“四人赛”后共需答题两局，每局开局时，系统会自动匹配3人与用户一起答题，每局答题结束时，根据答题情况四人分获第一､二､三､四名.首局中的第一名积3分，第二､三名均积2分，第四名积1分；第二局中的第一名积2分，其余名次均积1分，两局的得分之和为用户在“四人赛”中的总得分.假设用户在首局获得第一､二､三､四名的可能性相同；若首局获第一名，则第二局获第一名的概率为 $\frac{1}{5}$ ，若首局没获第一名，则第二局获第一名的概率为 $\frac{1}{3}$ .

(1)、设用户首局的得分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

(2)、求用户在“四人赛”中的总得分的期望值.

查看试题解析
21. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且经过点(-1， $\frac{3}{2}$ ).

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、设椭圆E的右顶点为A，点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左､右顶点的动点，直线l： $x = t (t > a)$ 交x轴于点P，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O､A､M､N四点共圆，求t的值.

查看试题解析
22. 设函数 $f (x) = x^{2} - a x + 2 s i n x$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 的斜率为1的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 2 π)$ 上有唯一零点，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析