福建省南平市2022届高三毕业班数学第三次质量检测试卷

试卷更新日期：2022-05-16 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知复数 $z = 2 + \frac{1}{2 + i}$ ，则复数 $z$ 的虛部为（）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{12}{5}$

查看试题解析
2. 设集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 3}$ ，集合 $B = {x | x \geq a}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a \geq 3$ B、 $- 1 \leq a \leq 3$ C、 $a \geq - 1$ D、 $a \leq - 1$

查看试题解析
3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（）

A、至多一枚硬币正面朝上 B、只有一枚硬币正面朝上 C、两枚硬币反面朝上 D、两枚硬币正面朝上

查看试题解析
4. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，当 $E$ 分别与 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $D_{1}$ 重合时，所形成的四面体 $E - B C D$ 中鳖臑共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

查看试题解析
5. 在单位圆中，已知角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $P (\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，现将角 $α$ 的终边按逆时针方向旋转 $\frac{π}{3}$ ，记此时角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $Q$ ，则点 $Q$ 的坐标为（）

A、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(1 ， 0)$ D、 $(0 ， 1)$

查看试题解析
6. 在 $△ A B C$ 中，若 $t a n (A + B) = - \sqrt{2}$ ，则 $t a n 2 C =$ （）

A、 $- 2 \sqrt{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

查看试题解析
7. 若点 $A (t ， \sqrt{2} t) (t \neq 0)$ 是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，点A到该抛物线焦点的距离为6，则 $p =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
8. 对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in (1 ， 3]$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时， $x_{1} - x_{2} - \frac{a}{3} l n \frac{x_{1}}{x_{2}} > 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[3 ， + \infty)$ B、 $(3 ， + \infty)$ C、 $[9 ， + \infty)$ D、 $(9 ， + \infty)$

查看试题解析

二、多选题

9. 支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则（）

A、若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人 B、该医院青年患者所占的频率为 $\frac{4}{15}$ C、该医院的平均治愈率为28.7% D、该医院的平均治愈率为31.3%

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的任意两条对称轴间的最小距离为 $\frac{π}{2}$ ，函数 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2} f^{'} (x)$ 的图象关于原点对称，则（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 单调递减 B、 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ， $| f (x_{1}) - g (x_{2}) | \leq 1 + \sqrt{2}$ C、把 $g (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位即可得到 $f (x)$ 的图象 D、若 $f (x)$ 在 $[0 ， a)$ 上有且仅有一个极值点，则 $a$ 的取值范围为 $(\frac{3 π}{8} ， \frac{7 π}{8}]$

查看试题解析
11. 已知双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C$ 的左､右焦点，过 $F_{2}$ 且与x轴垂直的直线交双曲线 $C$ 于M，N两点，又 $| M N | = 8 a$ ，则（）

A、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ B、双曲线 $C$ 的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方 C、双曲线 $C$ 的实轴长､虚轴长､焦距成等比数列 D、双曲线 $C$ 上存在点 $P$ ，满足 $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$

查看试题解析
12. 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点 $A_{i} (x_{i} ， y_{i})$ ，其中 $i = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， n ， \cdot \cdot \cdot$ 且 $x_{i} ， y_{i} \in Z$ .记 $a_{n} = x_{n} + y_{n}$ ，如 $A_{1} (1 ， 0)$ 记为 $a_{1} = 1$ ， $A_{2} (1 ， - 1)$ 记为 $a_{2} = 0$ ， $A_{3} (0 ， - 1)$ 记为 $a_{3} = - 1 ， \cdot \cdot \cdot$ ，以此类推；设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .则（）

A、 $a_{2022} = 42$ B、 $S_{2022} = - 87$ C、 $a_{8 n} = 2 n$ D、 $S_{4 n^{2} + 5 n} = \frac{3 n (n + 1)}{2}$

查看试题解析

三、填空题

13. 计算： $l o g_{2} s i n \frac{π}{4} =$ .

查看试题解析
14. 已知 $P (m ， n)$ 为圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 上任意一点，则 $\frac{n - 1}{m + 1}$ 的最大值为.

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x) = e^{x - a} + 9 e^{a - x} + x^{2} - 4 x - 2$ 有零点，则实数 $a =$ .

查看试题解析
16. 四面体 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $C D ⊥ B C$ ， $B C = 4$ ，且异面直线AB与CD所成的角为 $60 °$ .若四面体 $A B C D$ 的外接球半径为 $\sqrt{5}$ ，则四面体 $A B C D$ 的体积的最大值为.

查看试题解析

四、解答题

17. 在① $(a + b) (s i n A - s i n B) = (c - b) s i n C$ ；② $2 b - c - 2 a c o s C = 0$ ；③ $c o s^{2} B + c o s^{2} C + s i n B s i n C = 1 + c o s^{2} A$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
在 $△ A B C$ 中，角A､B､C所对的边分别是a､b､c，____.

(1)、求角A；

(2)、若 $A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，点D在线段AB上，且 $△ A C D$ 与 $△ B C D$ 的面积比为3：5，求CD的长.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答内容计分）

查看试题解析
18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{n + 1}{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 ${b_{n}}$ 满足 $b_{2 n} = 2 a_{n} - 24$ ， $b_{2 n - 1} = 2 a_{n} - 22$ .设 $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求 $S_{20}$ .

查看试题解析
19. 南平市于2018年成功获得2022年第十七届福建省运会承办权.为进一步提升第十七届福建省运会志愿者综合素质，提高志愿者服务能力，南平市启动首批志愿者通识培训，并于培训后对参训志愿者进行了一次测试，通过随机抽样，得到100名参训志愿者的测试成绩，统计结果整理得到如图所示的频率分布直方图.

参考数据与公式：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9974$ .

(1)、由频率分布直方图可以认为，此次测试成绩 $X$ 近似于服从正态分布 $N (μ ， 11 . 5^{2})$ ， $μ$ 近似为这100人测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），
①求 $μ$ 的值；

②利用该正态分布，求 $P (75.5 < X \leq 87)$ ；

(2)、在（1）的条件下，主办单位为此次参加测试的志愿者制定如下奖励方案：①测试成绩不低于 $μ$ 的可以获赠2次随机话费，测试成绩低于 $μ$ 的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

赠送话费的金额（元）

10

30

概率

$\frac{3}{4}$

$\frac{1}{4}$

今在此次参加测试的志愿者中随机抽取一名，记该志愿者获赠的话费为 $ξ$ （单位：元），试根据样本估计总体的思想，求 $ξ$ 的分布列与数学期望.

查看试题解析
20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = P B$ ， $∠ P B A = ∠ P B C$ .

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面PBD；

(2)、若M为棱PD上的点， $P M = 2 M D$ ，且二面角 $P - A B - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求直线PC与平面ACM所成角的正弦值.

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左､右焦点，焦距为4.过右焦点 $F_{2}$ 且与坐标轴不垂直的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于M，N两点，已知 $△ M N F_{1}$ 的周长为 $4 \sqrt{5}$ ，点M关于x轴的对称点为P，直线PN交x轴于点Q.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、求四边形 $M F_{1} N Q$ 面积的最大值.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = \frac{m}{x} + l n x$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $\frac{1}{4} < m < \frac{1}{e}$ ，求证：函数 $g (x) = \frac{x}{l n x} + \frac{x}{m} e^{- \frac{m}{x}}$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 且 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} > 2 e$ .

查看试题解析

赠送话费的金额（元）	10	30
概率	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$