福建省龙岩市2022届高三数学第三次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2022-05-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | 2^{x} - 4 > 0}$ ， $B = {x | l g x - 1 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(2 ， e)$ B、 $(e ， 10)$ C、 $(2 ， 10)$ D、 $(0 ， 10)$

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2. 复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = - 2 + 2 i^{3}$ ，则 $z =$ （）

A、2 B、-2 C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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3. 已知 $\vec{a} = (- \sqrt{3} ， 1)$ ， $\vec{b} = (- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为l，A为C上的点，过A作l的垂线，垂足为B，若 $| B F | = 2 \sqrt{2}$ ，则 $∠ B A F =$ （）

A、30º B、45º C、60º D、90º

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5. 进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A地距离上海500 $k m$ ，设车队从A地匀速行驶到上海，高速公路限速为 $60$ $k m / h$ $\sim 110$ $k m / h$ .已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v $k m / h$ 的立方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.若 $b = \frac{1}{200}$ ， $a = 1 0^{4}$ ，为了使全程运输成本最低，车队速度v应为（）

A、80 $k m / h$ B、90 $k m / h$ C、100 $k m / h$ D、110 $k m / h$

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6. 函数 $f (x) = x^{2} - m x + 9$ 的两个不同的零点均大于 $1$ 的一个充分不必要条件是（）

A、 $m \in (2 ， 6)$ B、 $m \in (6 ， 8)$ C、 $m \in (6 ， 10)$ D、 $m \in (6 ， + \infty)$

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7. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x + c o s^{2} ω x - \frac{1}{2} (a > 0 ， x \in R)$ 在 $[0 ， π]$ 内有且仅有三条对称轴，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{2}{3} ， \frac{7}{6})$ B、 $[\frac{7}{6} ， \frac{5}{3})$ C、 $[\frac{5}{3} ， \frac{13}{6})$ D、 $(\frac{13}{6} ， \frac{8}{3})$

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8. 已知 $| x | < \frac{1}{2}$ 时，有 $\frac{1}{1 + 2 x} = 1 - 2 x + 4 x^{2} - ⋯ + {(- 2 x)}^{n} + ⋯$ ，根据以上信息，若对任意 $| x | < \frac{1}{2}$ 都有 $\frac{x^{2}}{(1 - x^{5}) (1 + 2 x)} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{n} x^{n} + ⋯$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、245 B、246 C、247 D、248

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二、多选题

9. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，公比为q，则下列命题正确的是（）

A、若 $a_{1} = 1$ ， $q = 2$ ，则 $S_{6} = 63$ B、若 $q > 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是单调递增数列 C、若 $a_{1} > 0$ ， $q > 0$ ， $b_{n} = l g a_{n}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 是公差为 $l g q$ 的等差数列 D、若 $a_{1} > 0$ ， $q > 0$ ，且 ${(a_{1} + a_{10})}^{2} = a_{5} a_{6} + 12$ ，则 $a_{1} + a_{10}$ 的最小值为4

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10. 已知直线 $y = x + b$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 交于A､B两点，且 $| \vec{O A} + \vec{O B} | = | \vec{O A} - \vec{O B} |$ （其中O为坐标原点），则实数b的值可以是（）

A、-4 B、 $- 2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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11. 正多面体也称帕拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成（各面都是全等的正多边形，且每个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成的二面角都相等）.某中学在劳动技术课上，要求学生将一个近似正八面体的玉石切制成如图所示的棱长为2的正八面体P-ABCD-Q（其中E､F､H分别为PA，PB，BC的中点），则（）

A、AP与CQ为异面直线 B、平面PAB⊥平面PCD C、经过E､F､H的平面截此正八面体所得的截面为正六边形 D、此正八面体外接球的表面积为8π

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，满足 $f (x + 2) = \frac{1}{2} f (x)$ ，当 $x \in (0 ， 2]$ 时， $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ .对 $\forall x \in [m ， + \infty)$ ，下列选项正确的是（）

A、 $f (x) ≤ 2 e$ ，则m的最小值为 $- 1$ B、 $f (x) ≤ 2 e$ ，则m的值不存在 C、 $f {(x)}_{极小值} ≤ 2 e$ ，则 $m \geq - 3$ D、 $m = 0$ 时，函数 $y = f (x)$ 所有极小值之和大于2e

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三、填空题

13. 已知 $α$ 为锐角， $c o s (\frac{π}{2} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s α =$ .

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14. 某产品有5件正品和3件次品混在了一起（产品外观上看不出有任何区别），现从这8件产品中随机抽取3件，则取出的3件产品中恰有1件是次品的概率为.

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15. 已知变量y关于x的回归方程为 $y = e^{b x - 0.5}$ ，若对 $y = e^{b x - 0.5}$ 两边取自然对数，可以发现 $l n y$ 与x线性相关，现有一组数据如下表所示， $x = 5$ 时，预测y值为.
x
1
2
3
4
y
e
$e^{3}$
$e^{4}$
$e^{6}$

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16. 若 $x l n x - 2 m x (x - 1) + e^{x - 1} - x \geq 0$ 对 $\forall x \geq 1$ 恒成立，则实数m的取值范围是.

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四、解答题

17. △ABC的内角A，B､C的对边分别为a，b，c，若 $c o s^{2} C - c o s^{2} A = s i n^{2} B - s i n B s i n C$ .

(1)、求A的大小；

(2)、若 $a = 3$ ， __________，请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，求c的值.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
① $s i n B = 2 s i n C$ ；② $b = 4 s i n A$ ；③ $S_{△ A B C} = \frac{9 \sqrt{3}}{4}$ .

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} + a_{5} = 18$ ， $S_{6} = 48$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2}{\sqrt{a_{n + 1}} + \sqrt{a_{n - 1}}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明：当 $n \geq 3$ ， $n \in Z$ 时， $4 T_{n}^{2} > a_{n}$ .

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19. 如图，已知四棱锥S-ABCD，底面四边形ABCD为平行四边形， $∠ B C D = 45 °$ ， $B C = 2$ ， $A B = \sqrt{2}$ .若点G在棱AD上，满足 $B G ⊥ A D$ ，点E在棱SB上，满足 $C E ⊥ S B$ ，侧面SBC⊥底面ABCD.

(1)、求证：CE⊥平面SBG；

(2)、若SC⊥底面ABCD且 $C E = C D$ ，求二面角S-GB-C的余弦值.

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20. 《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛､竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，若答对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”.已知甲乙两位同学组成一组，且甲、乙同学答对每道题的概率分别为 $P_{1}$ ， $P_{2}$ .

(1)、若 $P_{1} = \frac{2}{3}$ ， $P_{2} = \frac{1}{2}$ ，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；

(2)、当 $P_{1} + P_{2} = \frac{4}{3}$ ，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中获得“优秀小组”的次数为6次，请问至少要进行多少轮竞赛.

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21. 已知函数 $f (x) = (a x + 1) e^{x} (a \in R)$ .

(1)、解关于x的不等式 $f (2 x + 1) - e f^{2} (x) > 0$ ；

(2)、当 $a < 0$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的最大值的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $M (4 ， 0)$ ， $N (1 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{M N} \cdot \vec{M P} = 6 | \vec{N P} |$ .记 $P$ 的轨迹为 $T$ .

(1)、求 $T$ 的方程；

(2)、若斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $l$ 过点 $N$ 且交 $T$ 于 $A$ ， $B$ 两点，弦 $A B$ 中点为 $E$ ，直线 $O E$ 与 $T$ 交于 $C$ ， $D$ 两点，记 $△ E A C$ 与 $△ E B D$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $S_{1} + S_{2}$ 的取值范围.

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x	1	2	3	4
y	e	$e^{3}$	$e^{4}$	$e^{6}$