福建省福州市2022届高三数学5月质量检测试卷

试卷更新日期：2022-05-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {1 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，全集 $U = A ∪ B$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${1 ， 5}$ C、 ${2 ， 3 ， 4}$ D、 ${1 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. 设复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 3 + i$ ，则复平面内与 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{b} \cdot (4 \vec{a} - 3 \vec{b}) =$ （）

A、-3 B、3 C、-5 D、5

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4. 某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音（如图）.已知噪音的声波曲线 $y = A s i n (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 \leq φ < 2 π$ ）的振幅为1，周期为 $π$ ，初相为 $\frac{π}{2}$ ，则用来降噪的声波曲线的解析式为（）

A、 $y = s i n 2 x$ B、 $y = c o s 2 x$ C、 $y = - s i n 2 x$ D、 $y = - c o s 2 x$

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{c o s π x}{x^{2} + 1}$ ，以下结论中错误的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 有无数个零点 C、 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{2}$ D、 $f (x)$ 的最大值为 $1$

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6. 在底面半径为1的圆柱 $O O_{1}$ 中，过旋转轴 $O O_{1}$ 作圆柱的轴截面 $A B C D$ ，其中母线 $A B = 2$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点， $F$ 是 $A B$ 的中点，则（）

A、 $A E = C F$ ， $A C$ 与 $E F$ 是共面直线 B、 $A E \neq C F$ ， $A C$ 与 $E F$ 是共面直线 C、 $A E = C F$ ， $A C$ 与 $E F$ 是异而直线 D、 $A E \neq C F$ ， $A C$ 与 $E F$ 是异面直线

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7. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = 2 - f (x)$ .若 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 3$ 对称，则下列选项中一定成立的是（）

A、 $f (- 3) = 1$ B、 $f (0) = 0$ C、 $f (3) = 2$ D、 $f (5) = - 1$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项分别为 $a_{n} = 2 n$ ， $b_{n} = 2^{n} + 1$ ，现将 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 中所有的项，按从小到大的顺序排成数列 ${c_{n}}$ ，则满足 $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \cdot \cdot \cdot + c_{n} > 20 c_{n + 1}$ 的 $n$ 的最小值为（）

A、21 B、38 C、43 D、44

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二、多选题

9. 若 $- 1 < a < b < 0$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $a^{2} + b^{2} > 2 a b$ C、 $a + b > 2 \sqrt{a b}$ D、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$

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10. 某质量指标的测量结果服从正态分布 $N (80 ， σ^{2})$ ，则在一次测量中（）

A、该质量指标大于80的概率为0.5 B、 $σ$ 越大，该质量指标落在（70，90）的概率越大 C、该质量指标小于60与大于100的概率相等 D、该质量指标落在 $(75 ， 90)$ 与落在 $(80 ， 95)$ 的概率相等

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11. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线为 $l$ ，点 $M$ 在抛物线上，以 $M$ 为圆心的圆与 $l$ 相切于点 $N$ ，点 $A (5 ， 0)$ 与抛物线的焦点 $F$ 不重合，且 $| M N | = | M A |$ ， $∠ N M A = 120 °$ ，则（）

A、圆 $M$ 的半径是4 B、圆 $M$ 与直线 $y = - 1$ 相切 C、抛物线上的点 $P$ 到点 $A$ 的距离的最小值为4 D、抛物线上的点 $P$ 到点 $A$ ， $F$ 的距离之和的最小值为4

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12. 一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫､6只白猫，把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫，猫争先恐后地往外钻，如果10只猫都钻出了笼子，事件 $A_{k}$ 表示“第 $k$ 只出笼的猫是黑猫”， $k = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 10$ ，则（）

A、 $P (A_{1} A_{2}) = \frac{2}{3}$ B、 $P (A_{1} + A_{2}) = \frac{2}{3}$ C、 $P (A_{2} | A_{1}) = \frac{1}{3}$ D、 $P (A_{10} | A_{2}) = \frac{1}{3}$

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三、填空题

13. 已知 $2 s i n (α - \frac{π}{3}) = c o s α$ ，则 $t a n α =$ .

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14. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，则该双曲线的离心率为.

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15. 某地在20年间经济高质量增长，GDP的值 $P$ （单位，亿元）与时间 $t$ （单位：年）之间的关系为 $P (t) = P_{0} {(1 + 10 %)}^{t}$ ，其中 $P_{0}$ 为 $t = 0$ 时的 $P$ 值.假定 $P_{0} = 2$ ，那么在 $t = 10$ 时，GDP增长的速度大约是.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注： $1 . 1^{10} \approx 2.59$ ，当 $x$ 取很小的正数时， $l n (1 + x) \approx x$

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16. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $\sqrt{3}$ ，以 $A_{1}$ 为球心，半径为2的球面与底面 $A B C D$ 的交线的长度为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
① $a_{2} = 2 a_{1}$ ；②数列 ${l n a_{n}}$ 是等差数列；③数列 ${S_{n} + a_{1}}$ 是等比数列；
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

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18. 某种疾病可分为 $A$ ， $B$ 两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患 $A$ 型疾病的人数占男性患者的 $\frac{5}{6}$ ，女性患 $A$ 型疾病的人数占女性患者的 $\frac{1}{3}$ .
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病的类型’与‘性别’有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？

(2)、某团队进行预防 $A$ 型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为 $m (m > 0)$ 元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，如果一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进人第二个周期.若 $p = \frac{2}{3}$ ，试验人数为1000人，试估计该试验用于接种疫苗的总费用.

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19. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $A C = 3$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点， $D$ 在 $A C$ 上， $D E ⊥ A B$ .沿着 $D E$ 将 $△ A D E$ 折起，得到几何体 $A - B C D E$ ，如图2

(1)、证明：平面 $A B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、若二面角 $A - D E - B$ 的大小为 $60 °$ ，求直线 $A D$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值.

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20. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $s i n C = 2 s i n A s i n B$ ，点 $D$ 在边 $A B$ 上，且 $C D ⊥ A B$

(1)、证明： $C D = \frac{1}{2} c$ ；

(2)、若 $a^{2} + b^{2} = \sqrt{6} a b$ ，求 $∠ A C B$ .

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动点 $P$ 到直线 $x = 2$ 的距离和点 $P$ 到点 $C (1 ， 0)$ 的距离的比为 $\sqrt{2}$ ，记点 $P$ 的轨迹为 $Γ$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、若不经过点 $C$ 的直线 $l$ 与 $Γ$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $∠ O C M = ∠ x C N$ ，求△ $C M N$ 面积的最大值.

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22. 设函数 $f (x) = x e^{x - 1} + a$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $x = - 1$ 处的切线与 $y$ 轴交于点 $(0 ， e - \frac{1}{e^{2}})$ ；

(1)、求 $a$ ；

(2)、若当 $x \in [- 2 ， + \infty)$ 时， $f (x) \geq b (x - 1)$ ，记符合条件的 $b$ 的最大整数值､最小整数值分别为 $M$ ， $m$ ，求 $M + m$ .注： $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 为自然对数的底数.

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.01	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828