安徽省卓越县中联盟2022届高三下学期理数第二次联考试卷

试卷更新日期：2022-05-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数 $z = \frac{2 i}{4 + i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{17}}{17}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ C、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ D、 $\sqrt{17}$

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2. 设集合 $A = {x \in Z ∣ x^{2} < 4} ， B = {x ∣ y = \sqrt{x - 1}}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x ∣ - 2 < x < 1}$ B、 ${x ∣ - 2 < x \leq 1}$ C、 ${- 1 ， 0}$ D、 ${- 1}$

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3. 已知 $p ： x < 1 ， q ： e^{x} < 1$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设m，n，l是三条不同的直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）

A、若 $m ∥ α ， n \subset α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $n ∥ β ， β ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$ C、若 $m ⊥ α ， m \subset β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m ∥ n ， n ∥ l ， l ∥ β$ ，则 $m / / β$

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5. 某单位从甲、乙、丙、丁、戊五名职工中选取3人负责一个地区的扶贫攻坚工作，其中甲、乙两人中至少要选取1人，甲、丙两人不能同时人选，则不同的选法总数为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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6. 已知角 $α$ 的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- 5 ， m)$ ，且 $s i n α = - \frac{12}{13}$ ，则 $\frac{1 + c o s 2 α}{s i n 2 α} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $- \frac{5}{12}$

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7. 充电电池是电动汽车的核心部件之一，如何提高充电速度是电池制造商重点关注的研究方向已知电池充入的电量E（单位： $k W \cdot h$ ）与充电时间t（单位： $m i n$ ）满足函数 $E (t) = M (1 - e^{- k t})$ ，其中M表示电池的容量，k表示电池的充电效率，研究人员对A，B两个型号的电池进行充电测试，电池A的容量为 $80 k W \cdot h$ ，充电 $30 m i n$ 充入了 $40 k W \cdot h$ 的电量；电池B的容量为 $60 k W \cdot h$ ，充电 $15 m i n$ 充入了 $20 k W \cdot h$ 的电量.设电池A的充电效率为 $k_{1}$ ，电池B的充电效率为 $k_{2}$ ，则（）

A、 $k_{1} > k_{2}$ B、 $k_{1} < k_{2}$ C、 $k_{1} = k_{2}$ D、 $k_{1} ， k_{2}$ 大小关系无法确定

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8. 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上任取两个实数a，b，则方程 $x^{2} + a x + b^{2} = 0$ 有两个不同的非负根的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{1}{16}$

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9. 若实数 $a$ ， $b$ 满足 $2 a + b = 3 (a > \frac{1}{2} ， b > 1)$ ，则 $\frac{2 a}{2 a - 1} + \frac{b}{b - 1}$ 的最小值为（）

A、6 B、4 C、3 D、2

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10. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ）的左､右焦点分别为 $F_{1} (- c ， 0)$ 和 $F_{2} (c ， 0) ， M (x_{1} ， \frac{2 b}{c})$ 为C上一点，且 $△ M F_{1} F_{2}$ 的内心为 $I (x_{2} ， 1)$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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11. 已知 $1 0^{a} = π ， 5^{b} = 3 ， l o g_{3} c = - \frac{1}{2}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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12. 将函数 $f (x) = 2 s i n x - 1$ 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，再向下平移1个单位长度，最后向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象.若对任意 $x_{1} \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，都存在 $x_{2} \in [- \frac{π}{2} ， 0]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则 $φ$ 的值可能是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{5 π}{12}$ C、 $\frac{7 π}{12}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， x) (x \in R) ， \vec{b} = (2 ， 4)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} | =$ .

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14. 若双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{6} = 1 (a > 0)$ 的离心率为2，则双曲线C的焦距为.

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15. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是矩形，其中 $A B = 2 ， A D = 4$ ，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， E为 $P D$ 的中点，若四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球表面积为 $36 π$ ，则直线 $B E$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为.

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16. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $5 a^{2} + 3 b^{2} = 3 c^{2}$ ，则 $s i n A$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知递增的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} + a_{5} = 30$ ，且 $a_{1} ， a_{2} ， a_{7}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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18. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为棱 $D D_{1} ， C C_{1}$ 的中点.

(1)、求证：平面 $A E C_{1} / /$ 平面BDF；

(2)、求直线 $A_{1} B$ 与平面 $A E C_{1}$ 所成角的大小.

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19. 从某酒店开车到机场有两条路线，为了解两条路线的通行情况，随机统计了走这两条路线各10次的全程时间（单位：min），数据如下表：
路线一
44
58
66
50
34
42
50
38
62
56
路线二
62
56
68
62
58
61
61
52
61
59
将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ ，样本方差分别记为 $s_{1}^{2}$ 和 $s_{2}^{2}$ .

(1)、求 $\bar{x} ， \bar{y} ， s_{1}^{2} ， s_{2}^{2}$ .

(2)、假设路线一的全程时间X服从正态分布 $N (μ_{1} ， σ_{1}^{2})$ ，路线二的全程时间Y服从正态分布 $N (μ_{2} ， σ_{2}^{2})$ ，分别用 $\bar{x} ， \bar{y} ， s_{1}^{2} ， s_{2}^{2}$ 作为 $μ_{1} ， μ_{2} ， σ_{1}^{2} ， σ_{2}^{2}$ 的估计值.现有甲､乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过 $60 m i n$ ，乙要求路上时间不超过 $70 m i n$ ，为尽可能满足客人要求，司机送甲､乙去机场应该分别选哪条路线？

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20. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，直线 $x = 4$ 与抛物线C交于点P. $| P F | = \frac{5}{2} p$ .

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过点F的直线与C交于A，B两点，与圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 交于D，E两点，若 $| A B | \cdot | D E | = 8 \sqrt{17}$ ，求直线 $A B$ 的方程，

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21. 已知函数 $f (x) = k x^{3} - 2 x^{2} - x l n x (k \in R)$ .

(1)、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的一个零点，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $k$ 的最小整数值（参考数据： $l n \frac{3}{4} \approx - 0.29$ ）

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - t \\ y = t + 4 \end{array}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{4}{1 + 3 s i n^{2} θ}$ .

(1)、求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)、若射线 $θ = \frac{π}{4} (ρ \geq 0)$ 与曲线C交于点M，与直线l交于点N.求 $| M N |$ 的长

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23. 已知函数 $f (x) = 3 | x + 2 | - | x - 4 |$

(1)、求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $\forall x \in R$ .不等式 $f (x) \geq k (x - 4)$ 恒成立，求实数k的取值范围

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路线一	44	58	66	50	34	42	50	38	62	56
路线二	62	56	68	62	58	61	61	52	61	59