安徽省芜湖市2022届高三下学期理数5月教育教学质量监控试卷

试卷更新日期：2022-05-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 2 \leq x \leq 4}$ ， $B = {x | 3 < x < 6}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${x | 3 < x \leq 4}$ B、 ${x | 3 \leq x \leq 4}$ C、 ${x | 2 < x < 6}$ D、 ${x | 2 \leq x < 6}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z + i - i z = 3$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、5

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3. $s i n 50 ° c o s 20 ° - s i n 140 ° s i n 20 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 改革开放后，优越的区位条件及政策倾斜使得我国东南地区尤其是长三角地区的经济得到迅速发展，大幅度提高了长三角地区对外来人口流入的拉力作用，从而使得该地区的人口经济集聚程度进一步提升.为研究长三角地区人口密度对经济增长的贡献效应，经调查统计，得到长三角地区分阶段人口密度与贡献率，结果如图1.下列说法中错误的是（）

A、2009年以来，长三角地区新增人口渐趋平稳，人口集聚程度放缓 B、长三角地区人口密度对经济增长的贡献率呈现由增到减的发展走势 C、人口质量红利贡献率与人口数量红利贡献率相比较，人口质量红利贡献率的波动性较大 D、人口数量红利和人口质量红利相比较，人口数量红利对经济增长的贡献更为突出

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5. 设动圆圆心为 $P$ ，该动圆过定点 $F (a ， 0)$ ，且与直线 $x = - a$ 相切（ $a > 0$ ），圆心 $P$ 轨迹为曲线 $C$ .过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直，若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B | =$ （）

A、 $\frac{a}{2}$ B、 $a$ C、 $2 a$ D、 $4 a$

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{3} = 2$ ， $S_{8} = 10$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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7. 为了检验某种血清预防感冒的作用，把 $500$ 名使用血清的人与另外 $500$ 名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设 $H_{0}$ ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用 $2 \times 2$ 列联表计算的结果，认为 $H_{0}$ 成立的可能性不足 $1 %$ ，那么 $K^{2}$ 的一个可能取值为（）
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
3.841
5.024
6.635
7.879
10.83

A、7.879 B、6.635 C、5.024 D、3.841

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8. 在 ${(1 + \frac{1}{x} - x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 项的系数为（）

A、5 B、-5 C、15 D、-15

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9. 设 $a = l o g_{2} 3$ ， $b = l o g_{4} 7$ ， $c = 2^{- \sqrt{2}}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则将 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，所得图象的函数解析式是（）

A、 $y = - c o s 2 x$ B、 $y = c o s 2 x$ C、 $y = - s i n (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $y = s i n (2 x - \frac{π}{6})$

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11. 已知函数 $f (x) = x^{3} + m x^{2} + n x + 1 (m ， n \in R)$ ，若不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 ${x | x > a$ 且 $x \neq 1}$ ，则函数 $f (x)$ 的单调递减区间为（）

A、 $(- 1 ， - \frac{1}{3})$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(- \frac{1}{3} ， 1)$ D、 $(1 ， \frac{4}{3})$

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12. 如图所示，圆柱 $O O_{1}$ 中， $E F$ 是底面直径，点 $M$ 是 $⊙ O$ 上一点， $∠ E O M = 90 °$ ，点 $H$ 是母线 $F G$ 上一点，点 $K$ 是上底面的一动点， $E F = 4$ ， $F G = 3$ ， $F H = 2$ ，则（）

A、存在点 $K$ ，使得 $E K + H K = 5$ B、存在唯一的点 $K$ ，使得 $∠ E K H = 90 °$ C、满足 $M K ⊥ E H$ 的点 $K$ 的轨迹长度是 $\frac{3}{2}$ D、当 $∠ E K H = 90 °$ 时，三棱锥 $K - E M H$ 外接球的表面积是 $20 π$

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二、填空题

13. 设 $f (x)$ 为奇函数，且 $x > 0$ 时， $f (x) = e^{x} + l n x$ ，则 $f (- 1) =$ .

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14. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (3 ， t)$ ，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影等于 $- 1$ ，则 $t =$ .

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15. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{6} = 1 (m > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过右焦点 $F_{2} (3 ， 0)$ 的直线 $l$ 斜率为 $k$ ，且与双曲线左､右两支分别交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $△ A B F_{1}$ 的周长为 $8 \sqrt{3}$ ，则 $| k | =$ .

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16. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $b_{n}$ 为数列 ${S_{n}}$ 的前 $n$ 项积，已知 $S_{n} + b_{n} = 1$ ，若 $a_{10}$ ， $b_{m}$ ， $S_{10}$ 成等比数列，则 $m =$ .

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ A D$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 相交于直线 $l$ .

(1)、证明： $l ⊥ P D$ ；

(2)、若 $D P = A D = A B = 2$ ，二面角 $A - l - D$ 是60°，点 $M$ 是直线 $l$ 上异于点 $P$ 的一点，且直线 $P B$ 和平面 $M A D$ 所成角的正弦值是 $\frac{\sqrt{14}}{4}$ ，求 $P M$ .

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19. 某校为了宣传芜湖市的“紫云英人才计划”开展多项游戏活动，其中一项为摸球领奖品游戏.游戏规则如下：在不透明的口袋中有3个红球､2个黑球，这些球除颜色外完全相同，参与者每一轮从口袋中一次性取3个球，将其中红球的个数记为该轮得分 $X$ ，记录完得分后，将取出的球全部放回袋中.当参与者完成 $n$ 轮游戏，累计得分恰好为 $2 n$ 时，游戏过关，可获得奖品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.3轮后仍未过关，则游戏结束，每位参与者只能参与一次游戏.

(1)、求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、若小明同学参与游戏，求小明获得奖品的概率.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$ ， $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左､右顶点， $B$ 为椭圆 $C$ 的上顶点， $F_{1}$ 为椭圆的左焦点，且 $△ A_{1} F_{1} B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设过点 $D (1 ， 0)$ 的动直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $E$ 、 $F$ 两点(点 $E$ 在 $x$ 轴上方)， $M$ 、 $N$ 分别为直线 $A_{1} E$ 、 $A_{2} F$ 与 $y$ 轴的交点，证明： $\frac{| O M |}{| O N |}$ 为定值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} + s i n x (0 < x < π ， a \in R)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导数.

(1)、当 $a = \frac{2}{π^{2}}$ 时，求 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， f (\frac{π}{2}))$ 处的切线方程；

(2)、当 $f^{'} (x)$ 恰有两个极值点时，记极大值和极小值分别为 $T$ ， $t$ .求证： $2 T ≥ t + \frac{3}{2}$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + c o s β \\ y = 3 s i n β \end{array}$ （ $β$ 为参数），将曲线 $C_{1}$ 经过伸缩变换 ${\begin{array}{l} x^{'} = x \\ y^{'} = \frac{1}{3} y \end{array}$ 得到曲线 $C_{2}$ .以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、已知射线 $l ： θ = α (ρ \geq 0)$ 与曲线 $C_{2}$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $\vec{O B} = 3 \vec{O A}$ ，求 $t a n α$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a | + 3 | x - 1 |$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) > 7$ 的解集；

(2)、若对任意 $x \in [2 ， 3]$ ，使得不等式 $f (x) ⩽ x^{2}$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	3.841	5.024	6.635	7.879	10.83