安徽省淮南市2022届高三下学期理数二模试卷

试卷更新日期：2022-05-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2 x > 6}$ ， $B = {x | 2^{x} < 32}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(3 ， 4)$ B、 $(4 ， 5)$ C、 $(3 ， + \infty)$ D、 $(3 ， 5)$

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2. 已知复数z满足 $(1 + i) z = 2 - i$ （i为虚数单位），则 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$

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3. 1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《body size and metabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的 $\frac{3}{4}$ 次幂成正比，即 $F = c_{0} M^{\frac{3}{4}}$ ，其中F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考数据： $\sqrt[4]{10} \approx 1.7783$ ）（）

A、5.4倍 B、5.5倍 C、5.6倍 D、5.7倍

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = 2 ， S_{2 n} = 6$ ，则 $S_{4 n} =$ （）

A、8 B、12 C、14 D、20

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5. 盒中装有形状大小相同的球6个，其中红球3个，编号为1、2、3，蓝球3个，编号为4、5、6，从中取2球，则两球颜色不同，且编号之和不小于7的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 已知 $0 < α < \frac{π}{2} ， \frac{π}{2} < β < π ， s i n α = \frac{3}{5} ， c o s (α + β) = - \frac{4}{5}$ ，则 $s i n β =$ （）

A、 $\frac{24}{25}$ B、 $- \frac{24}{25}$ C、 $- \frac{24}{25}$ 或 $\frac{24}{25}$ D、0或 $\frac{24}{25}$

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7. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A， $A K ⊥ l$ ，垂足为K，若 $△ A F K$ 的面积是 $4 \sqrt{3}$ ，则p的值为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、3

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8. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （其中 $A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2}$ ）的图象如图所示，下列4个命题中错误的是（）

A、向左平移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位长度后图象关于y轴对称 B、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后的图象关于坐标原点对称 C、 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 是它的一个对称中心 D、单调递减区间是 $(2 k π + \frac{π}{12} ， 2 k π + \frac{7 π}{12}) (k \in Z)$

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9. 对任意的 $x \in R$ ，函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (- x) = 4$ ．若函数 $g (x) = f (x) + \frac{s i n x}{s i n^{2} x + 1}$ 在区间 $[- 2022 ， 2022]$ 上既有最大值又有最小值，则函数 $g (x)$ 的最大值与最小值之和为（）

A、0 B、2 C、4 D、8

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10. 从双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点 $F (- c ， 0) (c > 0)$ 引圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线，切点为T，延长 $F T$ 交双曲线右支于P点，M为线段 $F P$ 的中点，O为坐标原点，若 $| M O | - | M T | = 2 a - c$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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11. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点E，F，G分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ 、 $B B_{1}$ 中点，现有下列4个命题：①直线 $D D_{1}$ 与直线 $A F$ 垂直；②直线 $A_{1} G$ 与平面 $A E F$ 平行；③点C与点G到平面 $A E F$ 的距离相等；④平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$ ．其中正确的是（）

A、①③ B、②③ C、②④ D、①④

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12. 已知 $f (x) = l n x + x - a ， g (x) = x + e^{x + a} ， f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，若 $\frac{x_{1}}{x_{2}} \geq 1$ ，则a的取值范围为（）

A、 $[- 1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， e]$ C、 $(- \infty ， 1]$ D、 $[e ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知实数x，y满足条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y - 2 \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y - a \leq 0 \end{array}$ ，若目标函数 $z = x + 2 y$ 的最大值为6，则实数 $a =$ ．

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14. 3D打印又称增材制造，是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术为了培养青少年的创新意识和应用技能，某学校成立了3D打印社团，学生们设计了一种几何体，其三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为 $1 c m$ ），如果这种打印原料的密度为 $1.50 g / c m^{3}$ ，不考虑打印消耗，则制作该模型所需原料的质量约为g．（ $π$ 取3.14）

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15. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，且 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $| \vec{a} | + | \vec{b} |$ 的最大值为．

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16. $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 120 ° ， A O$ 为 $B C$ 边上的中线， $A O = \sqrt{3}$ ，则 $A B - 2 A C$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，对 $\forall n \in N_{+}$ ，都有 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2} + \frac{n}{2} + 1$ ．

(1)、设 $b_{n} = a_{n} - n ， n \in N_{+}$ ，求证：数列 ${b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ ．

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18. 在某种产品的生产过程中，需对该产品的关键指标进行检测为保障产品质量，检验员在一天的生产中定期对生产线上生产的产品进行检测每次检测要从该产品的生产线上随机抽取20件进行检测，测量其关键指标数据．根据生产经验，可以认为这条产品生产线正常状态下生产的产品的关键指标数据服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，在检测中，如果有一次出现了关键指标数据在 $(μ - 3 σ ， μ + 3 σ)$ 之外的产品，就认为这条生产线在这一天的生产过程出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查．
附：若随机变量X服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974$ ， $0.997 4^{19} \approx 0.9517$ ， $0.997 4^{20} \approx 0.9493$ ， $0.050 7^{2} \approx 0.0026$ ， $0.949 3^{2} \approx 0.9012$ ．

(1)、下面是检验员在一次抽取的20件产品的关键指标数据：
10.02
9.95
10.05
9.22
9.98
10.04
9.78
9.96
10.04
9.96
10.01
10.13
9.92
10.14
9.91
9.95
10.09
10.05
9.88
10.2
经计算得 $\bar{x} = \frac{1}{20} \sum_{i = 1}^{20} x_{i} = 9.96 ， s = \sqrt{\frac{1}{20} \sum_{i = 1}^{20} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \sqrt{\frac{1}{20} (\sum_{i = 1}^{20} x_{i}^{2} - 20 {\bar{x}}^{2})} \approx 0.19$ ．其中 $x_{i}$ 为抽取的第i件产品的关键指标数据， $i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 20$ ．用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $μ$ 的估计值 $\hat{μ}$ ，用样本标准差s作为 $σ$ 的估计值 $\hat{σ}$ ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？

(2)、如果一天内共进行四次检测，若有连续两次出现生产过程检查，则需停止生产并对生产设备进行检修．试求一天中需对生产设备进行检修的概率（精确到0.001）．

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19. 如图①，四边形 $A B C D$ 是等腰梯形， $A B / / C D ， A B = B C = \frac{1}{2} C D = 2$ ， E是 $C D$ 的中点，将 $△ D A E$ 沿 $A E$ 折起，构成如图②所示的四棱锥 $D^{'} - A B C E$ ．

(1)、设M是 $A B$ 的中点，在线段 $D^{'} E$ 是否存在一点N，使得 $M N / /$ 平面 $D^{'} B C$ ？如果存在，求出点N的位置；如果不存在，请说明理由．

(2)、如果平面 $D^{'} A E ⊥$ 平面 $A B C$ ，求平面 $D^{'} A E$ 与平面 $D^{'} B C$ 所成锐二面角的大小．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $P (2 ， \sqrt{2})$ ，左焦点为F， $| P F | = 3 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过点 $D (- 4 ， 0)$ 作直线l交椭圆C于A、B两点，过点F且垂直于x轴的直线交直线l于点E，记 $\vec{D A} = λ \vec{D B} ， \vec{E A} = μ \vec{E B}$ ，求证： $λ + μ = 0$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = (1 - \frac{2}{x + 1}) e^{x} - k (x - 1) ， x > - 1 ， k \in R$ ．

(1)、若 $k = 0$ ，证明： $x \in (- 1 ， 0)$ 时， $f (x) < - 1$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 恰有三个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} + x_{3} > 1$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s α \\ y = 2 + 2 s i n α \end{array}$ （其中 $α$ 为参数， $0 \leq α < 2 π$ ），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线 $l_{1}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{3} (ρ \in R)$ ．

(1)、求曲线C的极坐标方程与直线 $l_{1}$ 的直角坐标方程；

(2)、设直线 $l_{1}$ 与曲线C交于点O，A，直线 $l_{2}$ 与曲线C交于点O，B，求 $△ A O B$ 面积的最大值．

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23. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 | x - 2 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \geq 7$ 的解集；

(2)、设函数 $f (x)$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上的最小值为m，正数a，b满足 $a + b = m$ ，求证： $\frac{a^{2} + b^{2}}{a} \geq 8 \sqrt{2} - 8$ ．

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10.02	9.95	10.05	9.22	9.98	10.04	9.78	9.96	10.04	9.96
10.01	10.13	9.92	10.14	9.91	9.95	10.09	10.05	9.88	10.2