安徽省蚌埠市2022届高三下学期理数第四次教学质量检查试卷

试卷更新日期：2022-05-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $E$ 、 $F$ 都是 $R$ 的子集，且 $∁_{R} E \subseteq F$ ，则 $E ∪ (∁_{R} F) =$ （）

A、 $\emptyset$ B、E C、F D、R

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2. 已知i为虚数单位，复数 $z = - i$ ，则下列复数与z互为共扼复数的是（）

A、 $z^{3}$ B、iz C、 $z + i$ D、 $z - i$

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3. 已知点P是 $△ A B C$ 的重心，则下列结论正确的是（）

A、 $(s i n 2 A) \overset{⇀}{P A} + (s i n 2 B) \overset{⇀}{P B} + (s i n 2 C) \overset{⇀}{P C} = \vec{0}$ B、 $(s i n A) \overset{⇀}{P A} + (s i n B) \overset{⇀}{P B} + (s i n C) \overset{⇀}{P C} = \vec{0}$ C、 $(t a n A) \overset{⇀}{P A} + (t a n B) \overset{⇀}{P B} + (t a n C) \overset{⇀}{P C} = \vec{0}$ D、 $\overset{⇀}{P A} + \overset{⇀}{P B} + \overset{⇀}{P C} = \vec{0}$

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4. 设m，n是不同的直线， $α$ ， $β$ 是不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m / / β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α / / β$

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5. 已知点O是原点，点F是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点，过双曲线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线相交于点A，若 $| F A | = | F O |$ ，则双曲线C的渐近线为（）

A、 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ B、 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ C、 $2 x \pm y = 0$ D、 $x \pm 2 y = 0$

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6. 已知 $a = l o g_{3} 10$ ， $b = l g 27$ ， $c = \sqrt{3}$ .则a，b，c的大小顺序为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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7. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，某数学兴趣小组探究该类三角形时，初步提出以下四个论断：甲： $b > c$ ；乙： $t a n (B - C) > 0$ ；丙： $c o s B < s i n C$ ；丁： $c c o s B < b c o s C$ .若上述四个论断中有且只有一个是正确的，则正确的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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8. 从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程（其中 $θ$ 为参数， $θ \in R$ ）能形成这种效果的是（）

A、 $x + y s i n θ - 2 = 0$ B、 $x c o s θ + y - 2 s i n θ = 0$ C、 $x c o s θ + y s i n θ - 2 = 0$ D、 $x c o s θ + y - 2 = 0$

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9. 数432的不同正因数个数为（）

A、12 B、16 C、20 D、24

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10. 若幂函数 $f (x) = x^{α} (α \in R)$ 满足 $(α + 1) f (x) = f (e x)$ ，则下列关于函数 $f (x)$ 的判断正确的是（）

A、 $f (x)$ 是周期函数 B、 $f (x)$ 是单调函数 C、 $f (x)$ 关于点 $(0 ， 1)$ 对称 D、 $f (x)$ 关于原点对称

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11. 阻尼器是一种以提供运动的阻力，耗减运动能量，从而达到减振效果的专业工程装置.如图，是被称为“镇楼神器”的我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移S（cm）与时间t（s）的函数关系式为 $S (t) = 3 s i n (ω t + φ) (ω > 0)$ ，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为 $S_{0} (- 3 < S_{0} < 3)$ 的时间分别为 $t_{1}$ ， $t_{2}$ ， $t_{3}$ ，且 $t_{1} + t_{2} = 2$ ， $t_{2} + t_{3} = 4$ ，则下列为 $S (t)$ 的单调区间的是（）

A、 $[k ， k + 1] (k \in N)$ B、 $[k + \frac{1}{2} ， k + \frac{3}{2}] (k \in N)$ C、 $[k ， k + 2] (k \in N)$ D、 $[k + \frac{3}{2} ， k + \frac{5}{2}] (k \in N)$

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12. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点都在球O的球面上， $P B = P C$ ， $∠ P A B = 90 °$ ，底面ABC是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形， $△ P B C$ 的面积为 $5 \sqrt{3}$ .有下列四个结论：
①三个侧面均为等腰三角形；②点A到平面PBC的距离为 $\frac{12}{5}$ ；③球O的表面积为 $32 π$ ；④PB与平面ABC所成角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ .

其中正确的结论为（）

A、②④ B、②③ C、①③ D、①②

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二、填空题

13. 已知变量 $x$ ， $y$ 的关系可以用模型 $y = c \cdot e^{k x}$ 拟合，设 $z = l n y$ ，其变换后得到一组数据如下：

$x$

4

6

8

10

$z$

2

3

5

6

由上表可得线性回归方程 $\hat{z} = 0.7 x + \hat{a}$ ，则 $c =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 2$ ，过点 $P (0 ， 2)$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线，则可作切线的最多条数是．

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15. 抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线为l，过抛物线C上一点A作l的垂线，垂足为B，设点 $P (\frac{9 p}{2} ， 0)$ ， AF与BP相交于点E，若 $| P F | = 2 | A F |$ ，且 $△ P A E$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，则P=.

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16. 凸四边形ABCD的面积为S， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ， $C D = D A = 5 \sqrt{2}$ ，则S的最大值为.

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 3$ ， $a_{6} = 6$ ，且 $b_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} + 1 ， n 为奇数 \\ 2^{a_{n}} ， n 为偶数 \end{array}$ .

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式及前2n项和；

(2)、若 $c_{n} = b_{2 n - 1} \cdot b_{2 n}$ ，记数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ .

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18. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，∠ACB=90°， $B B_{1} = 2 B C$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面ABC，AC=BC，E为AB的中点，D为 $A_{1} B_{1}$ 上一点.

(1)、求证：AD⊥CE；

(2)、当D为 $A_{1} B_{1}$ 的中点时，求二面角 $C - A D - B_{1}$ 的余弦值.

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19. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作不平行于坐标轴的直线与椭圆C相交于A，B两点，AM垂直x轴于点M，BN垂直x轴于点N，直线AN与BM相交于点P.

(1)、求证：动点P的横坐标为定值；

(2)、求 $△ P A B$ 面积的最大值.

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20. 有足够多的白球和黑球以及一个空的袋子，现使用一个骰子进行如下试验：投掷一次散子，若点数不小于5，则将2个白球放入袋子；若点数不大于4，则将1个黑球放入袋子.重复上述试验5次，设第 $n (1 \leq n \leq 5)$ 次试验后，袋子中的白球和黑球数分别为 $a_{n}$ ， $b_{n}$ .

(1)、求 $a_{5} + b_{5} \geq 7$ 的概率；

(2)、在 $a_{5} + b_{5} \geq 7$ 的条件下，求存在正整数 $k (1 \leq k \leq 5)$ 使得 $a_{k} = b_{k}$ 的概率.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x - 1$ ， $x \in [0 ， π]$ .

(1)、判断函数 $g (x) = f (x) - \frac{1}{2} x s i n x$ 的单调性；

(2)、若关于x的方程 $f (x) - a x s i n x = 0$ 仅有两个实数解，求实数a的取值范围.

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t + \frac{2}{t} ， \\ y = \frac{3}{5} t^{3} - \frac{18}{5 t} ， \end{array}$ （t为参数），曲线C与直线 $x = 3$ 相交于M，N两点.

(1)、求 $△ O M N$ 的面积；

(2)、以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求 $△ O M N$ 外接圆的极坐标方程.

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23. 已知函数 $f (x) = | 3 x - 2 |$ .

(1)、若不等式 $f (x + \frac{2}{3}) \geq | t - 1 |$ 的解集为 $(- \infty ， - \frac{1}{3}] ∪ [\frac{1}{3} ， + \infty)$ ，求实数 $t$ 的值；

(2)、若不等式 $f (x) \leq | 3 x + 1 | + 3^{y} + m \cdot 3^{- y}$ 对任意 $x$ ， $y$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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$x$	4	6	8	10
$z$	2	3	5	6