辽宁省县级重点高中协作体2022届高三下学期数学4月联合考试试卷

试卷更新日期：2022-05-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，集合 $M = {- 1 ， 0 ， 1} ， N = {s i n π ， c o s 0}$ ，则 ${- 1} =$ （）

A、 $M ∩ N$ B、 $M ∩ (∁_{U} N)$ C、 $N ∩ (∁_{U} M)$ D、 $(∁_{U} M) ∩ (∁_{U} N)$

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2. 设 $z = 1 + i$ （i为虚数单位），若 $z + \frac{a}{z} (a \in R)$ 为实数，则a的值为（）

A、2 B、-2 C、1 D、-1

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3. 某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的75%分位数为（）

A、3 B、4 C、3.5 D、4.5

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4. 如图所示直三棱柱 $A B C - D E F$ 容器中， $A B = B C$ 且 $A B ⊥ B C$ ，把容器装满水(容器厚度忽略不计)，将底面BCFE平放在桌面上，放水过程中当水面高度为AB的一半时，剩余水量与原来水量之比的比值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5. 设 $a = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}$ ， $b = \log_{3} \frac{1}{5}$ ， $2^{c} + c = 0$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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6. 英文单词“sentence”由8个字母构成，将这8个字母重新组合排列，一共可以得到英文单词的个数为（）(可以认为每个组合都是一个有意义的单词)

A、3360 B、3390 C、4200 D、4530

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7. 已知点P为△ABC的重心， $A B = 3 ， A C = 6 ， A = \frac{2 π}{3}$ ，点Q是线段BP的中点，则| $\vec{A Q}$ |为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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8. 已知动点 $C$ 到点 $F (0 ， - 2)$ 比到直线 $y = 1$ 的距离大 $1$ ，动点 $C$ 的轨迹为曲线 $W$ ，点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 是曲线 $W$ 上两点，若 $y_{1} + y_{2} = - 8$ ，则 $| A B |$ 的最大值为（）

A、10 B、14 C、12 D、16

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二、多选题

9. 已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布N（70，16），其中60分为及格线，则下列结论中正确的有（）（附：随机变量 $ξ$ 服从正态分布N（ $μ$ ， $σ^{2}$ ），则 $P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 0.9545$ ）

A、该校学生成绩的均值为70 B、该校学生成绩的标准差为4 C、该校学生成绩的标准差为16 D、该校学生成绩及格率超过95%

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10. 下列结论正确的是（）

A、“ $x > \sqrt{5}$ ”是“ $x^{2} > 5$ ”的充分不必要条件 B、 $\frac{t a n \frac{π}{8}}{1 + t a n^{2} \frac{π}{8}} = \frac{1}{2}$ C、已知在前n项和为Sn的等差数列{ $a_{n}$ }中，若 $a_{7} = 5$ ，则 $S_{13} = 75$ D、已知 $a > 0 ， b > 0 ， a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4 - b}{b}$ 的最小值为8

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11. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x - \frac{2 π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上恰好能取到2次最大值，则下列说法中正确的有（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有5个零点 B、 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{8}{3} ， \frac{14}{3})$ C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{6})$ 上一定有极值 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上不单调

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12. 在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中， $A A_{1} = 2$ ，点P在线段 $B C_{1}$ 上运动，点Q在线段 $A A_{1}$ 上运动，则下列说法中正确的有（）

A、当P为 $B C_{1}$ 中点时，三棱锥P- $A B B_{1}$ 的外接球半径为 $\sqrt{2}$ B、线段PQ长度的最小值为2 C、三棱锥 $D_{1}$ -APC的体积为定值 D、平面BPQ截该正方体所得截而可能为三角形、四边形、五边形

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三、填空题

13. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = x$ ，一个焦点到一条渐近线的距离为 $\sqrt{2}$ ，则双曲线的标准方程为.

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14. 能说明“存在 $x_{0}$ ，使得 $f (- x_{0}) = f (x_{0})$ ， f（x）不是偶函数”为真命题的一个函数为.

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15. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线 $l ： y = k (x + 4)$ 和点 $A (- 2 ， 0) ， B (2 ， 0)$ ，动点P满足 $| P A | = \sqrt{2} | P B |$ ，且动点P的轨迹上至少存在两点到直线l的距离等于 $\sqrt{2}$ ，则实数的 $k$ 取值范围是.

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16. 若关于x的不等式 $x + l n x + 1 \leq a x e^{x}$ 恒成立，则实数a的取值范围为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $b (a c o s B + b c o s A) = 2 c (b c o s C + c c o s B)$ ．

(1)、求 $\frac{b}{a}$ 的值；

(2)、已知 $c = \sqrt{3} ， △ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求a的值．

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18. 已知公比为 $q$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{2} - 2 a_{1} = 8$ ， $S_{3} = 84$ ， $q \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{l o g_{2}^{a_{n + 1}}}{l o g_{2}^{a_{n}}} + \frac{l o g_{2}^{a_{n}}}{l o g_{2}^{a_{n + 1}}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在直四棱柱ABCD— A₁B₁C₁D₁ 中，底面ABCD是边长为2的菱形，△ABD为等边三角形， $C_{1} P = 2 C P$ ， $A Q = 2 A_{1} Q$ .直四棱柱ABCD—的表面积为 $4 \sqrt{3} + 24$ ．

(1)、求棱 $A A_{1}$ 的长；

(2)、求二面角 $P - B D -$ Q的正弦值.

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20. 某初中为了了解学生对消防安全知识的掌握情况，开展了网上消防安全知识考试.对参加考试的男生、女生各随机抽查40人，根据考试成绩，得到如下列联表：

	男生	女生	合计
考试成绩合格	30	20	50
考试成绩不合格	10	20	30
合计	40	40	80

附 $x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (x^{2} \geq k)$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
k	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

(1)、根据上面的列联表，判断能否有95%的把握认为考试成绩是否合格与性别有关；

(2)、在考试成绩不合格的30人中按性别利用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望.

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21. 已知函数 $f (x) = a x + l n x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、讨论函数f(x)的单调性；

(2)、若过点P(1，0)且与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线有且仅有两条，求实数a的取值范围.

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{14}}{4})$ 在椭圆C上.

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过点（2，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于A，B两点，过点F且与x轴垂直的直线与直线l相交于点M.证明： $\frac{| A F |}{| B F |} = \frac{| A M |}{| B M |} .$

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