广东省茂名市化州市2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-05-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2 x + 1 > 3}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | x > - 1}$ B、 ${x | - 1 < x < 1}$ C、 ${x | - 2 < x < 1 或 x > 1}$ D、 ${x | 1 < x < 2}$

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2. 已知复数 $z = a + b i (a ， b \in R)$ ，若 $\frac{a}{i^{2021}} + 2 = b + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 + 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $- 1 - 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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3. 不等式“ ${(\frac{1}{2})}^{x} < 2$ ”是“ $l o g_{2} x > 1$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = \frac{s i n x + 2 x}{c o s x + x^{2}}$ 在 $[- π ， π]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A N} = \frac{1}{2} \vec{N C}$ ， $P$ 是 $B N$ 上的一点，若 $\vec{A P} = (m + \frac{1}{3}) \vec{A B} + \frac{1}{9} \vec{A C}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是它们所在线段的中点，则满足 $A_{1} F //$ 平面 $B D_{1} E$ 的图形个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 已知向量 $\vec{a} = (s i n θ ， - 3) ， \vec{b} = (1 ， c o s θ)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $s i n 2 θ + c o s^{2} θ$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{10}$ B、 $\frac{10}{7}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 x - 3 ， x \in [- 1 ， 2]$ ，实数 $a ， b$ 满足 $f (a) + f (b - 1) = 0 ，$ 则 $a (b - 1)$ 的最大值为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、6 C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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二、多选题

9. 下列结论正确的是（）

A、 $- \frac{7 π}{6}$ 是第三象限角 B、若圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形的弧长为 $π$ ，则该扇形面积为 $\frac{3 π}{2}$ C、 $c o s (\frac{3 π}{2} - A) = s i n (π - A)$ D、若角 $α$ 的终边过点 $P (- 3 ， 4)$ ，则 $c o s α = - \frac{3}{5}$

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10. 对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是（）

A、若 $c o s A = c o s B$ ，则△ABC为等腰三角形 B、若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ C、若 $a = 8$ ， $c = 10$ ， $B = 60 °$ ，则符合条件的△ABC有两个 D、若 $s i n^{2} A + s i n^{2} B > s i n^{2} C$ ，则△ABC是锐角三角形

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11. 函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x + 3 c o s ω x (ω > 0)$ 在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为4 B、 $f (x)$ 在 $(3 ， 4)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的值域为 $[- 2 \sqrt{3} ， 2 \sqrt{3}]$ D、 $f (x)$ 图象上所有的点向右平移 $\frac{4}{3}$ 个单位长度后，图象关于y轴对称

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12. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点F是棱 $A A_{1}$ 上的一个动点，平面 $B F D_{1}$ 交棱 $C C_{1}$ 于点E，则下列命题中正确的是（）

A、存在点F，使得 $A_{1} C_{1} ∥$ 平面 $B E D_{1} F$ B、存在点F，使得 $B_{1} D ∥$ 平面 $B E D_{1} F$ C、对于任意点F，四边形 $B E D_{1} F$ 均为平行四边形 D、对于任意的点F，三棱锥 $F - B B_{1} D_{1}$ 的体积均不变

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角为120°，且 $| \vec{a} |$ ＝2， $| \vec{b} |$ ＝3，则 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a}$ ＝．

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14. 已知 $c o s (α - \frac{π}{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $c o s 2 α =$ ．

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15. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} g (x) + 2 ， x > 0 \\ l o g_{2} (1 - x) ， x \leq 0 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 是奇函数，则 $g (3)$ 的值是．

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16. 已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥平面ABCD.若四棱锥P﹣ABCD的体积为 $\frac{16}{3}$ ，则球O的表面积为.

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四、解答题

17. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 $b s i n C + \sqrt{3} c \cdot c o s B = 0$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = 7$ ， $a + c = 8$ ，求△ABC的面积.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} x + 2 \sqrt{3} s i n x c o s x - 1 (x \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和对称轴；

(2)、若函数 $g (x) = f (\frac{1}{2} x + \frac{π}{3})$ 经过点 $(θ ， \frac{8}{5}) ， θ \in (- \frac{π}{3} ， \frac{2}{3} π)$ ，求 $s i n θ$ 的值．

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19. 已知在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M、E、F、N分别是 $A_{1} B_{1}$ 、 $B_{1} C_{1}$ 、 $C_{1} D_{1}$ 、 $D_{1} A_{1}$ 的中点.
求证：

(1)、平面 $A M N / /$ 平面 $E F D B$ .

(2)、E、F、D、B四点共面.

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20. 在 $△ A B C$ 中，内角A， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积S满足 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} S = a^{2} + b^{2} - c^{2}$ .

(1)、求 $∠ C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $c = \sqrt{3}$ ，求 $2 a - 4 s i n B$ 的取值范围.

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21. 新冠肺炎期间，呼吸机成为紧缺设备，某企业在国家科技的支持下，进行设备升级，生产了一批新型的呼吸机.已知该种设备年固定研发成本为60万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备 $x$ 万台，且全部售完，由于产能原因，该设备产能最多为32台，且每万台的销售收入 $f (x)$ （单位：万元）与年产量 $x$ （单位：万台）的函数关系式近似满足： $f (x) = {\begin{array}{l} 180 - 2 x ， 0 < x \leq 18 \\ 70 + \frac{2650}{x} - \frac{27000}{x^{2}} ， 18 < x \leq 32 \end{array}$

(1)、写出年利润 $W (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （万台）的函数解析式.（年利润=年销售收入-总成本）；

(2)、当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？

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22. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} - 2 m x - 3$ ，关于x的不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集为 $[- 1 ， n]$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上的最大大值；

(2)、若不等式 $f (2^{x}) - (a^{2} - a) \cdot 2^{x} + 19 \geq 0$ 对任意的 $x \in [1 ， 3]$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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