安徽省皖南名校2021-2022学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-05-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设复数 $z$ 满足 $\frac{1 - z}{1 + z} = i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、-2 B、0 C、-1 D、1

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2. 已知 $A D$ 是△ $A B C$ 的中线， $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b}$ ，以 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为基底表示 $\vec{A C}$ ，则 $\vec{A C} =$ （）

A、 $2 \vec{b} - \vec{a}$ B、 $\frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $\frac{1}{2} (\vec{b} - \vec{a})$ D、 $2 \vec{b} + \vec{a}$

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3. 已知m，n， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 表示直线， $α$ ， $β$ 表示平面．若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $l_{1} \subset β$ ， $l_{2} \subset β$ ， $l_{1} ∩ l_{2} = M$ ，则 $α / / β$ 的一个充分条件是（）

A、 $m / / β$ 且 $l_{1} ∥ α$ B、 $m / / β$ 且 $n / / β$ C、 $m / / β$ 且 $n ∥ l_{2}$ D、 $m / / l_{1}$ 且 $n / / l_{2}$

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4. 如图，在透明塑料制成的长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 容器内灌进一些水，将容器底面一边 $B C$ 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：

①有水的部分始终呈棱柱形；

②水面 $E F G H$ 所在的四边形面积为定值；

③棱 $A_{1} D_{1}$ 始终与水面所在的平面平行；

④当点 $E$ 在棱 $A A_{1}$ 时， $A E + B F$ 是定值.

其中正确说法的是（）

A、①②④ B、①③④ C、①②③ D、②③④

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5. 函数 $y = t a n (\frac{π}{4} x - \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $(\vec{O B} - \vec{O A}) \cdot \vec{O B} =$ （）

A、-4 B、2 C、-2 D、4

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6. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，若 $A B = A C = A A_{1} = 1$ ， $A B ⊥ A C$ ，点 $M$ ， $N$ 分别 $A_{1} C_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点，则异面直线 $M N$ 与 $B_{1} C_{1}$ 所成的角为（）

A、90º B、60º C、45º D、30º

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7. 宽与长的比为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ 的矩形叫做黄金矩形它广泛的出现在艺术建筑人体和自然界中，令人赏心悦目在黄金矩形 $A B C D$ 中， $B C = \sqrt{5} - 1$ ， $A B > B C$ ，那么 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $\sqrt{5} + 1$ C、4 D、 $2 \sqrt{5} + 2$

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8. 在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 满足 $2 \vec{B P} = \vec{P C}$ ，过点 $P$ 的直线与 $A B$ ， $A C$ 所在的直线分别交于点 $M$ ， $N$ ，若 $\vec{A M} = x \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = y \vec{A C} (x > 0 ， y > 0)$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{3}$

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二、多选题

9. 如图，在以下四个正方体中，直线 $A B$ 与平面 $C D E$ 垂直的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z (i - 2) = i^{2022}$ ，则下列说法错误的是（）

A、复数 $z$ 的模为 $\frac{1}{5}$ B、复数 $z$ 的共轭复数为 $- \frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$ C、复数 $z$ 的虚部为 $\frac{1}{5} i$ D、复数 $z$ 在复平面内对应的点在第一象限

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11. 在 $△ A B C$ 中，角所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，给出下列四个命题中，其中正确的命题为（）

A、若 $A ： B ： C = 1 ： 2 ： 3$ ，则 $a ： b ： c = 1 ： 2 ： 3$ ； B、若 $c o s A < c o s B$ ，则 $s i n A > s i n B$ ； C、若 $A = 3 0^{∘} ， a = 3 ， b = 4$ ，则这个三角形有两解； D、当 $△ A B C$ 是钝角三角形.则 $t a n A \cdot t a n C < 1$ .

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12. 如图直角梯形 $A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $B C = C D = \frac{1}{2} A B = 2$ ． E为 $A B$ 的中点，以 $D E$ 为折痕把 $A D E$ 折起，使点A到达点P的位置，且 $P C = 2 \sqrt{3}$ ，则（）

A、平面 $P D E ⊥$ 平面 $E B C D$ B、 $P C ⊥ E D$ C、二面角 $P - D C - B$ 的大小 $\frac{π}{4}$ D、 $P C$ 与平面 $P E D$ 所成角的正切值为 $\sqrt{2}$

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三、填空题

13. 已知 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 5$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 12$ ，且 $\vec{e}$ 是与 $\vec{b}$ 方向相同的单位向量，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为.

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14. 如图，正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为．

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15. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得 M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=m．

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16. 达•芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”，从年轻时起，他就本能地把这些主题运用在作品中，布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正方体的边长为1，则点 $F$ 到直线 $Q C$ 的距离是.

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四、解答题

17. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1 - 3 i$ （ $i$ 是虚数单位）

(1)、若复数 $(1 + a i) z$ 是纯虚数，求实数 $a$ 的值；

(2)、若复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，求复数 $\frac{\bar{z}}{z + 1}$ 的模．

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18. 已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ ，已知 $\vec{a}$ 方向上的单位向量为 $\vec{e}$ ，向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $- \vec{e}$ .

(1)、若 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求 $| \vec{b} |$ 的大小；

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ ，求向量 $\vec{b}$ 与 $2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ 夹角的余弦值.

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19. 已知圆柱的底面半径为 $r$ ，上底面圆心为 $O$ ，正六边形 $A B C D E F$ 内接于下底面圆 $O_{1}$ ， $∠ A O O_{1} = 3 0^{°}$

(1)、试用 $r$ 表示圆柱的表面积和体积；

(2)、若圆柱体积为 $9 π$ ，求点 $C$ 到平面 $O E F$ 的距离.

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20. 在① $\sqrt{3} b ＝ a (s i n C + \sqrt{3} c o s C)$ ；② $2 a c o s A ＝ b c o s C + c c o s B$ ， ③ $a c o s C + \frac{1}{2} c ＝ b$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知____．

(1)、求角A；

(2)、设 $△ A B C$ 的面积为S，若 $a ＝ \sqrt{3}$ ，求面积S的最大值．

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21. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径， $∠ A B D = 6 0^{∘} ， ∠ B D C = 4 5^{∘} ， △ A D P ~ △ B A D$ ．

(1)、求线段PD的长；

(2)、若 $P C = \sqrt{11} R$ ，求三棱锥P-ABC的体积．

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22. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B D ⊥$ 平面 $A B_{1} C$ ，其垂足D落在直线 $B_{1} C$ 上.

(1)、求证： $A C ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、若P是线段 $A B$ 上一点， $B D = \sqrt{3}$ ， $B C = A C = 2$ ，三棱锥 $B_{1} - P A C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求二面角 $P - B_{1} C - A$ 的平面角的正弦值.

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