安徽省合肥市六校联盟2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-05-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 为虚数单位，则 ${(1 - i)}^{2}$ 的值等于（）

A、 $2 - 2 i$ B、 $2 + 2 i$ C、 $- 2 i$ D、 $2 i$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 4 ， A B = A C = 2 \sqrt{5}$ ，若 $△ A B C$ 的水平放置直观图为 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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3. 圆锥的母线长是4，侧面积是 $4 π$ ，则该圆锥的高为（）

A、 $\sqrt{15}$ B、4 C、3 D、2

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4. 下列说法：
（1）有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；（2）棱锥至少有 $6$ 条棱；（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；（4）以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.
正确的个数有（）个

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 已知向量 $\vec{a} = (4 ， 2)$ ， $\vec{b} = (0 ， 5)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(2 ， 1)$ B、 $(- 2 ， - 1)$ C、 $(\frac{20}{9} ， \frac{10}{9})$ D、 $(6 ， 3)$

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6. 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为 $($ $)$

A、相交 B、平行 C、异面而且垂直 D、异面但不垂直

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7. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 3$ ， $B C = 3 \sqrt{3}$ ，现以BC为旋转轴旋转 $360 °$ 得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（）

A、 $27 π$ B、 $\frac{27 π}{2}$ C、 $\frac{27 π}{8}$ D、 $\frac{27 π}{4}$

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8. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $B C = 3 ， C D = D A = 2 \sqrt{3}$ ， $\vec{C B} \cdot \vec{C D} = 0$ ， $\vec{C D} \cdot \vec{D A} = 6$ ， $E ， F$ 分别为边 $B C ， C D$ 上的动点，且 $E F = 2$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最小值为

A、4 B、5 C、24 D、25

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二、多选题

9. 在复平面内有一个平行四边形 $O A B C$ ，点 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 对应的复数为 $z_{1} = 1 + i$ ，点 $B$ 对应的复数为 $z_{2} = 1 + 2 i$ ，点 $C$ 对应的复数为 $z_{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、点 $C$ 位于第二象限 B、 $z_{1} + z_{3} = z_{2}$ C、 $| z_{1} - z_{3} | = | A C |$ D、 $z_{1} \cdot z_{3} = z_{2}$

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10. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， λ)$ ，则下列叙述不正确的是（）

A、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $λ > 2$ B、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $λ = 2$ C、若 $λ = 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直 D、若 $λ < 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角

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11. 已知某多面体的平面展开图如图所示，每个面都是边长为2的正三角形，则下列结论正确的是（）

A、该多面体的体积为 $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$ B、该多面体的外接球的表面积为 $8 π$ C、该多面体的内切球的体积为 $\frac{8 \sqrt{6}}{27} π$ D、该多面体的表面积为8

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12. 如图所示，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1 ， A A_{1} = 2 ， P$ 是 $A_{1} B$ 上的一动点，则下列选项正确的是（）

A、DP的最小值为 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、DP的最小值为 $\sqrt{5}$ C、 $A P + P C_{1}$ 的最小值为 $\sqrt{6}$ D、 $A P + P C_{1}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{170}}{5}$

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三、填空题

13. 若一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为3，则这个正四棱台的体积为.

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14. 已知复数 $z$ 的共轭复数是 $\bar{z}$ ，满足 $z (1 + \sqrt{3} i) = 2$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为.

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15. 设2a+1，a，2a—1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是；

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16. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是两个平面向量， $| \vec{b} | = 2 \sqrt{2}$ ，且对任意 $t \in R$ ，恒有 $| \vec{b} - t \vec{a} | ⩾ | \vec{b} - \vec{a} |$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | + | \vec{a} |$ 的最大值是．

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{2} ， \sqrt{2})$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 8$ ．

(1)、设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $θ$ 的值；

(2)、若 $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ (\vec{b} - \vec{a})$ ，求实数 $k$ 的值．

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18. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = 5 ， A B = 5 ， A A_{1} = 4$ ， $D G = B E = 1$ ， $C F = 2$ ．

(1)、求平面四边形 $A E F G$ 的面积；

(2)、求几何体 $A B C D E F G$ 的体积．

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19. 如图，在公园内有一块边长为100米的等边三角形空地（记为 $△ A B C$ ），现修成草坪，图中 $M N$ 把草坪分成面积相等的两部分，点 $M$ 在 $A B$ 上，点 $N$ 在 $A C$ 上．

(1)、若 $A M = 75$ 米，求 $A N$ 长；

(2)、如果 $M N$ 是灌溉水管，为了节约成本，希望灌溉水管 $M N$ 最短，请确定点 $M ， N$ 的位置，并求 $M N$ 的最小值．

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20. 已知圆锥的底面半径 $R = 6$ ，高 $h = 8$

(1)、求圆锥的表面积和体积

(2)、如图若圆柱 $O^{'} O$ 内接于该圆锥，试求圆柱侧面积的最大值

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 5 ， A C = 4$ ，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 16$ ， $2 \vec{D C} + \vec{D B} = \vec{0}$ ， $\vec{A E} = \vec{E B}$ ．

(1)、求 $\vec{A D} \cdot \vec{A C}$ ；

(2)、设 $A D$ 与 $C E$ 交于点 $F$ ，求 $∠ D F E$ 的余弦值大小．

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22. 在 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别为内角 $A ， B ， C$ 的对边，已知 $2 \sin A \cos B = \sin C$ ，且边 $B C$ 上的中线长为4．

(1)、证明： $A = B$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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