浙江省衢州市衢江区2022年中考第一次模拟数学试卷

试卷更新日期：2022-05-13 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 2的绝对值是（）

A、2 B、－2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 截至2022年3月24日，“祝融号”火星车在距离地球277000000千米的火星表面工作306个火星日，数据277000000用科学记数法可表示为（）

A、277×10⁶ B、27.7×10⁷ C、2.77×10⁸ D、0.277×10⁹

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{8} \div a^{2} = a^{4}$ B、 $b^{3} + b^{3} = b^{6}$ C、 $a^{2} + a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ D、 $(4 a + b) (4 a - b) = 16 a^{2} - b^{2}$

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5. 一个布袋里放有3个红球、2个白球和2个蓝球，它们除颜色外其余都相同.从布袋中任意摸出1个球，摸到红球的概率是（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

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6. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = B E$ ， $∠ C = 70 °$ ，则 $∠ B A E$ 的度数为（）

A、35° B、45° C、55° D、65°

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7. 不等式2x﹣6＞0的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为：（）

A、50° B、80° C、100° D、130°

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9. 如图，点 $P (x ， D) (x > 0)$ 是反比例函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{x} (k > 0)$ 的图象上的一个动点，以点 $P$ 为圆心， $O P$ 为半径的圆与 $x$ 轴交于点 $A$ ，延长 $O P$ 交圆 $P$ 于点 $B$ ，连结 $A B$ ，则 $Δ O A B$ 的面积是（）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 甲、乙两辆遥控车沿直线AC作同方向的匀速运动.甲、乙同时分别从A，B出发，沿轨道到达C处.已知甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t分钟后甲、乙两车与B处的距离分别为S₁ ， S₂ ，函数关系如图所示.当两车的距离小于10米时，信号会产生相互干扰.那么t是下列哪个值时两车的信号会相互干扰（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、2 C、 $\frac{11}{5}$ D、 $\frac{13}{5}$

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二、填空题

11. 分解因式： $x^{2} - 2 x =$ .

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12. 二次根式 $\sqrt{x - 4}$ 中字母 $x$ 的取值范围是.

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13. 随着体育中考的临近，某校随机地调查了45名学生的跳远成绩，结果如下表所示：
跳远成绩 $(c m)$
160
170
180
190
200
220
人数
3
9
6
9
15
3
则这些同学的跳远成绩的的众数为，中位数为.

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14. 已知 $R t Δ A B C$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5 c m$ ， $A C = 4 c m$ ，将此三角形绕 $A C$ 旋转一周所形成的圆锥的侧面积是.

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15. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴.若反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为 .

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16. 如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了右图的机械设备，磨盘半径 $O Q = 3 d m$ ，用长为 $13 d m$ 的连杆将点 $Q$ 与动力装置 $P$ 相连（ $∠ O Q P$ 大小可变），点 $P$ 在轨道 $A B$ 上滑动，并带动磨盘绕点 $O$ 转动， $O A ⊥ A B$ ， $O A = 8 d m$ .

(1)、如图2，当 $P Q$ 与 $⊙ O$ 相切时，则 $A P =$ $d m$ .

(2)、若磨盘转动10周，则点 $P$ 在轨道 $A B$ 上滑动的路径长是 $d m$ .

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三、解答题

17. 计算： $(π - \sqrt{3})^{0} - (\frac{1}{2})^{- 1} + t a n 6 0^{°}$

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18. 先化简，再求值： $\frac{2}{x^{2} - 1} \div \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}$ ，从1，2，3这三个数中选择一个你认为适合的 $x$ 代入求值.

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19. 定义：等腰三角形 $A B C$ ，如果腰长是底边长的两倍，则称三角形 $A B C$ 是等腰倍边三角形.

(1)、如图1，在等腰倍边三角形 $A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 2$ ，求 $A B$ 和 $t a n B$ 的值.

(2)、如图2，平行四边形 $A B C D$ ， $A B = 8$ ，对角线交于点 $O$ ，分成的四个以 $O$ 为顶点的三角形中，若 $Δ A O B$ 和 $Δ C O D$ 为等腰倍边三角形，请你求出 $A C + B D$ 的值.

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20. 垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源.某城市环保部门为了提高宣传实效，抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，其相关信息如下：
根据图表解答下列问题：

(1)、在抽样数据中，产生的垃圾一共有多少吨？

(2)、在抽样数据中，产生的有害垃圾有多少吨？并补全条形统计图.

(3)、调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占 $\frac{1}{5}$ ，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料.假设该城市每月产生的生活垃圾为5000吨，且全部分类处理，那么每月回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料？

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21. 如图， $⊙ O$ 是 $Δ A B C$ 的外接圆， $A B = A C$ ， BD是 $⊙ O$ 的直径， $P A ∥ B C$ ，与DB的延长线交于点P，连结AD.

(1)、求证： $P A$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $t a n ∠ A B C = \frac{1}{2}$ ， $B C = 4$ ，求BD与 $A D$ 的长.

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22. 3月14日，衢州进行了第一次全民核酸检测，某小区上午9点开始检测，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，居民陆续到采集点排队，10点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：

时间 $x$ （分）	0	15	30	45	75	90	95	100	110
人数 $y$ （个）	60	115	160	195	235	240	180	120	0

小明把数据在平面直角坐标系里，描成点连成线，得到如图所示函数图象，在0～90分钟， $y$ 是 $x$ 的二次函数，在90～110分钟， $y$ 是 $x$ 的一次函数.

(1)、如果

B

是二次函数图象的顶点，求二次函数解析式

(2)、若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？

(3)、采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，社区要求10点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？

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23. 已知二次函数 $y_{1} = x^{2} + a x + 1$ ， $y_{2} = a x^{2} + b x + 1$ （ $a$ ， $b$ 为常数， $a \neq 0$ ）.

(1)、若 $a = - 2$ ，求二次函数 $y_{1}$ 的顶点坐标.

(2)、若 $b = 4 a$ ，设函数 $y_{2}$ 的对称轴为直线 $x = k$ ，求 $k$ 的值.

(3)、点 $P (x_{0} ， m)$ 在函数 $y_{1}$ 图象上，点 $Q (x_{0} ， n)$ 在函数 $y_{2}$ 图象上.若函数 $y_{1}$ 图象的对称轴在 $y$ 轴右侧，当 $0 < x_{0} < 1$ ， $b = 1$ 时，试比较 $m$ ， $n$ 的大小.

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24. 在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与BD互相垂直且平分.

(1)、【推理探究】如图1，已知 $A C = B D$ ，点 $E$ 是线段 $O A$ 上任意一点， $C F ⊥ B E$ 交 $O B$ 于点 $G$ ，垂足为点 $F$ ，求证： $O E = O G$ .

(2)、【类比应用】如图2，已知 $A C = B D$ ，点 $E$ 在 $O A$ 的延长线上，且 $O A ： A E = 2 ： 1$ ， $C F ⊥ B E$ 交 $O B$ 的延长线于点 $G$ ， $A B = 8$ ，求 $t a n ∠ A B E$ 的值.

(3)、【拓展延伸】如图3，已知 $∠ B A D = 60 °$ ，点 $E$ 是 $O A$ 的三等分点， $C F ⊥ B E$ 交直线 $O B$ 于点 $G$ ，垂足为点 $F$ ， $A B = 8$ ，求 $\frac{O G}{C F}$ 的值.

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跳远成绩 $(c m)$	160	170	180	190	200	220
人数	3	9	6	9	15	3