2022年初中数学苏科版《中考二轮复习》专题二函数 2.3 二次函数

试卷更新日期：2022-05-12 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 函数y＝﹣x²﹣2x+m的图象上有两点A（1，y₁），B（2，y₂），则（）

A、y₁＜y₂ B、y₁＞y₂ C、y₁＝y₂ D、y₁、y₂的大小不确定

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2. 当 $1 \leq x \leq 3$ 时，二次函数 $y = x^{2} - 2 a x + 3$ 的最小值为-1，则 $a$ 的值为（）

A、2 B、±2 C、2 或 $\frac{5}{2}$ D、2 或 $\frac{13}{6}$

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3. 将抛物线C₁：y＝（x－3）²＋2向左平移3个单位长度，得到抛物线C₂ ，抛物线C₂与抛物线C₃关于x轴对称，则抛物线C₃的解析式为（　　　）．

A、y＝x²－2 B、y＝－x²＋2 C、y＝x²＋2 D、y＝－x²－2

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4. 把二次函数y＝ax²+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a(x﹣1)²+2a，若(m﹣1)a+b+c≤0，则m的最大值是（）

A、0 B、1 C、2 D、4

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5. “数形结合”思想是数学学习的一个重大思想．通过巧妙运用几何代数的结合性有时能将某些难题迎刃而解．已知a，b，c，d均为实数，a²+b²＝c²+d² $= \sqrt{2}$ ，则 $\frac{a^{2} c^{2} + b^{2} d^{2}}{2} +$ abcd的最大值为（　　）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、2

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6. “如果二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像与 $x$ 轴有两个交点，那么一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实数根．”请根据这句话的理解，解决以下问题；若 $m$ 、 $n (m < n)$ 是关于 $x$ 的方程 $1 - (x - a) (x - b) = 0$ 的两根，且 $a < b$ ，则 $a$ ， $b$ ， $m$ ， $n$ 的大小关关系是（）

A、 $m < a < b < n$ B、 $a < b < m < n$ C、 $a < m < b < n$ D、 $a < m < n < b$

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7. 抛物线y＝﹣x²+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．有下列结论：①关于x的方程﹣x²+2x+m+1（m为常数）＝0有两个不相等的实数根；②﹣1＜m＜2；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）²+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为 $\sqrt{34} + \sqrt{2}$ ．其中正确的个数是（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知二次函数y＝a(x+1)(x﹣m)（a≠0，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（）
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点(0，1)，则﹣1＜a＜0；
③若(﹣2022，y₁)，(2022，y₂)是函数图象上的两点，则yl＜y₂；
④若图象上两点 $(\frac{1}{4} ， y_{1})$ ， $(\frac{1}{4} + n ， y_{2})$ 对一切正数n，总有y₁＞y₂ ，则1＜m $\leq \frac{3}{2}$ ．

A、①② B、①③ C、①②③ D、①③④

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 9 0^{∘}$ ， $A B = 6 m m$ ， $B C = 12 m m$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 开始沿边 $A B$ 向 $B$ 以 $2 m m / s$ 的速度移动（不与点 $B$ 重合），动点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿边 $B C$ 向 $C$ 以 $4 m m / s$ 的速度移动（不与点 $C$ 重合）.如果 $P$ 、 $Q$ 分别从 $A$ 、 $B$ 同时出发，那么经过（）秒，四边形 $A P Q C$ 的面积最小.

A、0.5 B、1.5 C、3 D、4

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10. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线 $x = - 1$ .有下列结论：① $a b c < 0$ ；② $4 a c - b^{2} < 0$ ；③ $c - a > 0$ ；④当 $x = - n^{2} - 2$ 时， $y \geq c$ ；⑤若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ）是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两根，则方程 $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) - 1 = 0$ 的两根m、n（m＜n）满足 $m < x_{1}$ ，且 $n > x_{2}$ .其中，正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象的顶点坐标为（1，m），与y轴的交点为（0，m－2），则a的值为.

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12. 已知抛物线 $y = x^{2} - b x + c$ （ $b ， c$ 为常数， $b > 0$ ）经过点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $M (m ， 0)$ 是x轴正半轴上的动点.点 $Q (b + \frac{1}{2} ， y_{Q})$ 在抛物线上，当 $\sqrt{2} A M + 2 Q M$ 的最小值为 $\frac{33 \sqrt{2}}{4}$ 时，b的值为.

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13. 某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是元.

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14. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数 $y = x^{2}$ 的图象交于A、B两点，且 $C B = 3 A C$ ，P为 $C B$ 的中点，设点P的坐标为 $P (x ， y) (x > 0)$ ，写出y关于x的函数表达式为：.

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15. 如图，已知 $A (1 ， - 2) ， B (3 ， - 1)$ ，在x轴上取 $C ， D$ 两点，使 $C D = 2$ ，把线段 $A D$ 交点A沿逆时针方向旋转 $90 °$ ，得线段 $A E$ ，把线段 $B C$ 绕点B沿顺时针方向旋转 $90 °$ ，得线段 $B F$ ，当 $E ， F$ 两点之间的距离最小时，点C的坐标为.

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16. 如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，抛物线y＝ax²－6ax+5a（a是常数，且a＞0）过点C，与x轴交于点A、B，点A在点B的左边.连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D与点O在直线AC两侧，连接BD，则BD的最小值是.

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17. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - 4$ 与 $x$ 轴交于 $A ， B$ 两点， $P$ 是以点 $C (0 ， 3)$ 为圆心，2为半径的圆上的动点， $Q$ 是线段 $P A$ 的中点，连结 $O Q$ .则线段 $O Q$ 的最大值是.

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18. 如图，抛物线y = $\frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x - \frac{8}{3}$ 的图象与坐标轴交于A、B、D ，顶点为E ，以AB为直径画半圆交y轴的正半轴于点C ，圆心为M ， P是半圆上的一动点，连接EP ， N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是．

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三、解答题

19. 旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金是x（元）．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？（注：净收入=租车收入管理费）

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20. 甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．

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21. 为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m²的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m²），种草所需费用y₁（元）与x（m²）的函数关系式为 $y_{1} = {\begin{matrix} k_{1} x (0 \leq x < 600) \\ k_{2} x + b (600 \leq x \leq 1000) \end{matrix}$ ，其图象如图所示：栽花所需费用y₂（元）与x（m²）的函数关系式为y₂=﹣0.01x²﹣20x+30000（0≤x≤1000）．

(1)、请直接写出k₁、k₂和b的值；

(2)、设这块1000m²空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；

(3)、若种草部分的面积不少于700m² ，栽花部分的面积不少于100m² ，请求出绿化总费用W的最小值．

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22. 某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产销售，在对历年市场行情和生产情况进行调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息，如图所示．注：两图中的每个实心点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低，图甲的图象是线段，图乙的图象是抛物线．
请你根据图象提供的信息说明：

(1)、在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）

(2)、哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由；

(3)、已知市场部销售该种蔬菜，4、5两个月的总收益为48万元，且5月份的销量比4月份的销量多2万公斤，求4、5两个月销量各多少万公斤？

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23. 如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过点A（-1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．

(1)、求此抛物线的解析式．

(2)、当a=1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标．

(3)、若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．

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24. 在平面直角坐标系中，直线y= $\frac{1}{2}$ x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y= $\frac{1}{2}$ x²+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；

(3)、如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

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25. 在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax²+bx+c经过点A，B，C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似点P的坐标；

②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

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26. 如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；

(3)、如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A．D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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二、填空题

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