湖北省二十一所重点中学2022届高三下学期数学第三次联考试卷

试卷更新日期：2022-05-11 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设集合 $A = {a | \exists x \in R ， a^{x} = \log_{a} x (a > 1)}$ ， $B = {y | \forall x \geq 0 ， x y \geq \ln (\sqrt{2} x + \sqrt{2 x^{2} + 1})}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $B \subseteq A$ C、 $B \cap A = \emptyset$ D、 $B \cap A \neq \emptyset$

查看试题解析
2. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具.如图，边长为4的七巧板左下角为坐标原点，其中各点的横､纵坐标均为整数.当函数 $y = A \sin (ω x + φ) + b $ $(0 \leq ω \leq π ， | b | \leq 2)$ 经过的顶点数最多时， $\frac{A}{b}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、1或 $\frac{1}{2}$ D、1或2

查看试题解析
3. 已知 $e \approx 2.71828$ 是自然对数的底数，设 $a = \frac{2022}{2021}$ ， $b = \frac{2023}{2022}$ ， $c = \frac{4045}{4043}$ ， $d = e^{\frac{1}{2022}}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $b < a < c < d$ B、 $c < b < d < a$ C、 $b < d < c < a$ D、 $b < a < d < c$

查看试题解析
4. 如图，在半径为 $\sqrt{2}$ 的半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上取一点 $P$ ，以 $A P$ 为直径作半圆，则图中阴影部分为月牙 $A P$ ，在 $\overset{⌢}{A B}$ 上取 $2 k$ 个点 $P_{1} ， P_{2} ， ... ， P_{2 k}$ 将圆弧 $2 k + 1$ 等分，设月牙 $A P_{1} ， A P_{2} ， ... ， A P_{2 k}$ 面积的平均值为 $S_{k}$ ，若对于 $\forall k \in N^{*}$ 均有 $λ < S_{k}$ ，则 $λ$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{π}$ B、 $\frac{2}{π}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

查看试题解析

5. 在卡方独立性检验中，

χ^{2} = \sum \frac{{(A_{i ， j} - B_{i ， j})}^{2}}{B_{i ， j}}

，其中

A_{i ， j}

为列联表中第

i

行

j

列的实际频数，

B_{i ， j}

为假定独立情况下由每行､每列的总频率乘以总频数得到的理论频数，取

p = q = 2

时，如表所示，则有：

B_{1 ， 1} = 0.3 \times 0.4 \times 10 = 1.2 ， B_{1 ， 2} = 1.8 ， B_{2 ， 1} = 2.8 ， B_{2 ， 2} = 4.2

，因此：

χ^{2} = \frac{{(1 - 1.2)}^{2}}{1.2} + \frac{{(2 - 1.8)}^{2}}{1.8} + \frac{{(3 - 2.8)}^{2}}{2.8} + \frac{{(4 - 4.2)}^{2}}{4.2} = \frac{5}{63}

与课本公式

χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + c) (b + d) (c + d)}

等价，故以下

2 \times 3

列联表的

χ^{2}

最小值为（）

1	2	$P = 0.3$
3	4	$P = 0.7$
$P = 0.4$	$P = 0.6$	$(n = 10)$
$5 x (x \in N^{*})$	$y$	30
30	25	45

$(n = 200)$

A、

\frac{38}{11}

B、

\frac{130}{33}

C、

\frac{376}{77}

D、

\frac{520}{121}

查看试题解析

6. 南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积总是相等，则这两个立体的体积相等.如图，两个半径均为 $1$ 的圆柱体垂直相交，则其重叠部分体积为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{16}{3}$ C、 $\frac{4}{3} π$ D、 $3 π$

查看试题解析
7. 函数 $f (x) = \ln x - a x + 1$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，下列说法错误的是（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $x_{1} x_{2} > \frac{1}{a}$ C、 $x_{2} - x_{1} > \frac{1}{a} - 1$ D、 $x_{1} + x_{2} < \frac{2}{a}$

查看试题解析
8. 小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（）

A、20160 B、20220 C、20280 D、20340

查看试题解析

二、多选题

9. 函数 $f (x) = \frac{a x + \ln | x |}{\sin x} (a \leq 0)$ 在 $[- 2 π ， 2 π]$ 上的大致图像可能为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + a_{n} = 1$ 对于 $\forall n \in N^{*}$ 恒成立，若定义 $S_{n}^{(1)} = S_{n}$ ， $S_{n}^{(k)} = \sum_{i = 1}^{n} S_{i}^{(k - 1)} (k \geq 2)$ ，则以下说法正确的是（）

A、 ${a_{n}}$ 是等差数列 B、 $S_{n}^{(3)} = \frac{n^{2} - n + 2}{2} - \frac{1}{2^{n}}$ C、 $S_{n}^{(k + 2)} - S_{n}^{(k)} = \frac{A_{n + k - 1}^{k + 1}}{(k + 1)!}$ D、存在 $n$ 使得 $S_{n}^{(2022)} = \frac{n^{2021}}{2022!}$

查看试题解析
11. 已知向量 $\vec{A B} = (m ， \sqrt{3} m)$ ， $\vec{B C} = (n ， - \sqrt{3} m)$ $(m ， n > 0)$ ，且 $| \vec{B M} | = 1$ ， $\vec{A M} = x \vec{A C}$ ，其中 $x = 1 - 2 \cos \frac{4 π}{9}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 所成角的大小为 $\frac{π}{3}$ B、 $x^{3} - 3 x^{2} + 1 \neq 0$ C、当 $| A B | = \sqrt{1 - x^{2}}$ 时， $| A B | + | B C |$ 取得最大值 D、 $| A B | + | B C |$ 的最大值为 $3 - x$

查看试题解析
12. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 的虚轴长为2， $F_{1} ， F_{2}$ 为其左右焦点， $P ， Q ， R$ 是双曲线上的三点，过P作 $C$ 的切线交其渐近线于 $A ， B$ 两点.已知 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心 $I$ 到 $y$ 轴的距离为1.下列说法正确的是（）

A、 $△ A B F_{2}$ 外心 $M$ 的轨迹是一条直线 B、当 $a$ 变化时， $△ A O B$ 外心的轨迹方程为 $x^{2} + a^{2} y^{2} = \frac{{(a^{2} + 1)}^{2}}{4}$ C、当 $P$ 变化时，存在 $Q ， R$ 使得 $△ P Q R$ 的垂心在 $C$ 的渐近线上 D、若 $X ， Y ， Z$ 分别是 $P Q ， Q R ， P R$ 中点，则 $△ X Y Z$ 的外接圆过定点

查看试题解析

三、填空题

13. 定义 $z_{1} ， z_{2} \in C$ ， $z_{1} \oplus z_{2} = \frac{1}{4} (| z_{1} + z_{2} |^{2} - | z_{1} - z_{2} |^{2})$ ， $z_{1} \otimes z_{2} = z_{1} \oplus z_{2} + i (z_{1} \oplus i z_{2})$ .若 $z_{1} = 3 + 4 i$ ， $z_{2} = 1 + 4 \sqrt{3} i$ ，则 $| z_{1} \otimes z_{2} | =$ .

查看试题解析
14. 过点 $P (1 ， 1)$ 作斜率为 $k (k \geq 0)$ 的直线交椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 于 $A ， B$ 两点，若 $E$ 上存在相异的两点 $C ， D$ 使得 $\frac{| C A |}{| C B |} = \frac{| D A |}{| D B |} = \frac{| P A |}{| P B |}$ ，则 $△ C D P$ 外接圆半径的最小值为.

查看试题解析
15. 在一棱长为6的正四面体密闭容器内部有一半径为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ 的球体自由运动.则容器内部未被球所扫过的体积为.（结果保留到整数，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41 ， \sqrt{3} \approx 1.73 ， π \approx 3.14 ， \cos 70.5 ° \approx \frac{1}{3}$ ）

查看试题解析
16. 某同学从两个笔筒中抽取使用的笔，蓝色笔筒里有6支蓝笔，4支黑笔，黑色笔筒里有6支黑笔，4支蓝笔.第一次从黑笔筒中取出一支笔并放回，随后从与上次取出的笔颜色相同的笔筒中再取出一支笔，依此类推.记第 $n$ 次取出黑笔的概率为 $P_{n}$ ，则 $P_{n} =$ ， $\sum_{1 \leq i < j \leq n}^{} (P_{i} - \frac{1}{2}) (P_{j} - \frac{1}{2}) =$ .

查看试题解析

四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的外心为 $O$ ， $M ， N$ 为线段 $A B ， A C$ 上的两点，且 $O$ 恰为 $M N$ 中点.

(1)、证明： $| A M | \cdot | M B | = | A N | \cdot | N C |$

(2)、若 $| A O | = \sqrt{3}$ ， $| O M | = 1$ ，求 $\frac{S_{△ A M N}}{S_{△ A B C}}$ 的最大值.

查看试题解析
18. 象棋属于二人对抗性游戏的一种，在中国有着悠久的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动.马在象棋中是至关重要的棋子，“马起盘格势，折冲千里余.江河不可障，飒沓入敌虚”将矩形棋盘视作坐标系 $x O y$ ，棋盘的左下角为坐标原点，马每一步从 $(x ， y)$ 移动到 $(x \pm 1 ， y \pm 2)$ 或 $(x \pm 2 ， y \pm 1)$ .

(1)、若棋盘的右上角为 $(4 ， 4)$ ，马从 $(0 ， 0)$ 处出发，等概率地向各个能到达（不离开棋盘）的方向移动，求其4步以内到达右上角的概率.

(2)、若棋盘的右上角为 $(16 ， 15)$ ，马从 $(1 ， 0)$ 处出发，每一步仅向 $+ x ， + y$ 方向移动，最终到达棋盘右上角，若选择每一条可行的道路是等概率的，求马停留在线段 $y = x - 1 (2 \leq x \leq 16)$ 上次数 $X$ 的数学期望.

查看试题解析
19. 坐落于武汉市江汉区的汉口东正教堂是中国南方唯一的拜占庭式建筑，象征着中西文化的有机融合.拜占庭建筑创造了将穹顶支承于独立方柱上的结构方法和与之相呼应的集中式建筑形制，其主体部分由一圆柱与其上方一半球所构成，如图所示.其中 $O$ 是下底面圆心， $A ， B ， C$ 是 $⊙ O$ 上三点， $A_{1} ， B_{1} ， C_{1}$ 是上底面对应的三点.且 $A ， O ， C$ 共线， $A C ⊥ O B$ ， $\vec{C_{1} E} = \vec{E C}$ ， $\vec{B_{1} F} = \frac{1}{3} \vec{F B}$ ， $\vec{A E}$ 与 $\vec{O F}$ 所成角的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{65}}{65}$ .

(1)、若 $E$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

(2)、在（1）的条件下，已知 $P$ 为半球面上的动点，且 $A P = 2 \sqrt{10}$ ，求 $P$ 点轨迹在球面上围成的面积.

查看试题解析
20. 已知正项数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n} ， T_{n}$ ，且在平面直角坐标系中点 $(b_{n} ， \frac{a_{n}^{2} + 1}{2})$ 到 $(- 1 ， - 1)$ ， $(1 ， 1)$ 的距离差为2.证明：

(1)、对于任意 $n \in N^{*}$ ，均存在实数 $X ， Y$ 使得 $X \leq T_{n} \leq Y$ 且 $| X - Y | \leq n$ .

(2)、若有整数 $k (k \geq 3)$ 使得 $S_{k} = 1$ ，则存在实数 $X ， Y$ 使得 $X \leq T_{k} \leq Y$ 且 $| \frac{1}{X} - \frac{1}{Y} | \leq \frac{1}{2 k^{2}}$ .

查看试题解析
21. 已知点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，位于 $x$ 轴上方的点 $M$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的动点，且直线 $M A$ 与直线 $M B$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ .动直线 $l$ 与直线 $M A$ 的倾斜角互补，交 $C$ 于 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 两点 $(y_{1} > y_{2})$ ，设 $Q$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $N$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $M ， N$ 分别作椭圆 $C$ 的切线 $l_{1} ， l_{2}$ 交于点 $I$ .若当点 $M ， P ， Q$ 移动时，始终保持 $\sin ∠ M P Q = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，证明： $I$ 在一条定直线上.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x} - \frac{1}{x} (x > 0)$ ， $g (x) = x e^{x} + a \ln x (a \in R)$ ，且 $f (x_{1}) = 0$

(1)、若 $a = 1$ ，且 $g (x_{0}) = 0$ ，试比较 $x_{0}$ 与 $x_{1}$ 的大小关系，并说明理由；

(2)、若 $a = - 1$ ，且 $(x_{2} + 1) f (x_{2}) = g (x_{2})$ ，证明：
（i） $\frac{5}{9} < x_{2} < \frac{5}{3 e}$ ；

（ii） $e^{x_{1} - x_{2}} > \frac{3 - 2 x_{2}}{3 - 2 x_{1}}$ .

（参考数据： $\ln 3 \approx 1.098 ， \ln 5 \approx 1.609 ， \frac{1}{e} \approx 0.368$ ）

查看试题解析