湖南省永州市2022届高三下学期数学第三次适应性考试试卷

试卷更新日期：2022-05-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知i为虚数单位，复数 $z$ 在复平面内对应点的坐标为 $(1 ， 1)$ ，则 $z (1 - i) =$ （）

A、1 B、2 C、 $i$ D、 $2 i$

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2. 设集合 $A = {x | (x + 2) (x - 3) < 0}$ ， $B = {x | x > 1}$ ，则（）

A、 $A ∩ B = \emptyset$ B、 $A ∪ B = R$ C、 $A ∩ B = {x | 1 < x < 3}$ D、 $A ∪ B = {x | x > 1}$

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3. “ $a > b$ ”是“ $l n a > l n b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程 $x$ (单位：万千米)对应维修保养费用 $y$ (单位：万元)的四组数据，这四组数据如下表：
行驶里程 $x$ /万千米
1
2
4
5
维修保养费用 $y$ /万元
0.50
0.90
2.30
2.70
若用最小二乘法求得回归直线方程为 $\hat{y} = 0.58 x + \hat{a}$ ，则估计该款汽车行驶里程为6万千米时的维修保养费是（）

A、3.34万元 B、3.62万元 C、3.82万元 D、4.02万元

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5. 若 $x^{8} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + ⋯ + a_{7} (x + 1)^{7} + a_{8} (x + 1)^{8}$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、56 B、28 C、-28 D、-56

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6. 中国古代数学瑰宝《九章算术》记录形似“楔体”的“羡除”．所谓“羡除”，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平行四边形），两个不平行对面是三角形的五面体．如图，在羡除 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $△ E A D$ ， $△ F B C$ 均为正三角形， $E F / /$ 平面 $A B C D$ ，且 $E F = 2 A B$ ，则羡除 $A B C D E F$ 的体积为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上， $| O P | = c$ （ $c$ 为双曲线 $C$ 的半焦距），直线 $P F_{2}$ 与双曲线 $C$ 右支交于另一个点 $Q$ ， $t a n ∠ F_{1} Q F_{2} = \frac{3}{4}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、3 B、2 C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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8. 在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B B_{1} = 2 B C = 2$ ， $E$ 为 $A A_{1}$ 的中点，点 $F$ 为线段 $C C_{1}$ 上的动点，则三棱锥 $E - B B_{1} F$ 的外接球表面积的最大值为（）

A、π B、4π C、5π D、10π

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二、多选题

9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 是递减数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，且 $S_{7} = S_{8}$ ，则（）

A、 $d ＞ 0$ B、 $a_{8} = 0$ C、 $S_{15} > 0$ D、 $S_{7}$ 、 $S_{8}$ 均为 $S_{n}$ 的最大值

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10. 已知事件 $A$ 与事件 $B$ 为互斥事件， $\bar{A}$ 是事件 $A$ 的对立事件， $\bar{B}$ 是事件 $B$ 的对立事件，若 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{6}$ ，则（）

A、 $P (\bar{A}) = \frac{2}{3}$ B、 $P (A ∪ B) = \frac{1}{2}$ C、 $P (\bar{A} ∩ \bar{B}) = 0$ D、事件 $A$ 与事件 $B$ 不独立

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11. 已知函数 $f (x) = l n | x - 1 | - \frac{1}{2} x^{2} + x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 B、 $f (x)$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上为减函数 C、 $f (x)$ 有4个零点 D、 $\exists x_{0} > 0$ ，使 $f (x_{0}) > 0$

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12. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 与圆 $F$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ ，点 $P$ 在抛物线 $C$ 上，点 $Q$ 在圆 $F$ 上，点 $A (- 1 ， 0)$ ，则（）

A、 $| P Q |$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ B、 $∠ F P Q$ 最大值为 $4 5^{∘}$ C、当 $∠ P A Q$ 最大时，四边形 $A P F Q$ 的面积为 $2 + \frac{\sqrt{15}}{8}$ D、若 $P Q$ 的中点也在圆 $C$ 上，则点 $P$ 的纵坐标的取值范围为 $[- \sqrt{2} ， \sqrt{2}]$

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三、填空题

13. 已知 $s i n θ - c o s θ = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n 2 θ$ ＝.

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14. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{α} - \vec{b} | = | \vec{a} |$ ， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为．

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15. 已知直线 $l$ ： $y = 3 x + 2$ ，函数 $f (x) = l n x - a x + \frac{1}{3}$ ，若 $f (x)$ 存在切线与 $l$ 关于直线 $y = x$ 对称，则 $a =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在 $(π ， 2 π)$ 内单调且有一个零点，则 $ω$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 从① ${(b - c)}^{2} = a^{2} - b c$ ， ② $2 c = \sqrt{3} a s i n C + c c o s A$ 这两个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且____ .

(1)、求 $A$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为 $\sqrt{3}$ ，求 $b + c$ 的最大值.(注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答记分)

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18. 某游乐场开展摸球有奖活动，在一个不透明的盒子中放入大小相同的10个小球，其中红球4个，黑球6个，游客花10元钱，就可以参加一次摸球有奖活动，从盒子中一次随机摸取4个小球，规定摸取到两个或两个以上的红球就中奖.根据摸取到的红球个数，设立如下的中奖等级：
摸取到的红球个数
2
3
4
中奖等级
三等奖
二等奖
一等奖

(1)、求游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率；

(2)、若游乐场规定：在一次摸球有奖活动中，游客中三等奖，可获得奖金15元；中二等奖，可获得奖金20元；中一等奖，可获得奖金200元.请从游乐场获利的角度，分析此次摸球有奖活动的合理性.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = A_{1} C = B C = 2$ .

(1)、求证： $A_{1} B ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、若 $A C = \sqrt{2}$ ， $∠ A B B_{1} = 6 0^{∘}$ ，点 $M$ 满足 $3 \vec{A M} = 2 \vec{M C_{1}}$ ，求二面角 $A - A_{1} B_{1} - M$ 的余弦值.

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20. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1}^{2} - 2 S_{n} = n + 1 (n \in N^{*})$ ，其中 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{k}$ 和 $a_{k + 1} (k \in N^{*})$ 中插入 $k$ 个相同的数 $2^{k}$ 构成一个新数列 ${b_{n}}$ ： $a_{1} ， 2 ， a_{2} ， 2^{2} ， 2^{2} ， a_{3} ， 2^{3} ， 2^{3} ， 2^{3} ， a_{4} ， \cdot \cdot \cdot$ ．求 ${b_{n}}$ 的前90项和 $T_{90}$ ．

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，点 $P (1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $M$ ， $N$ 是椭圆 $C$ 上的两个动点， $O$ 为坐标原点，且直线 $P M$ ， $P N$ 的倾斜角互补，求 $△ O M N$ 面积的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x (a \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $a t_{1} e^{t_{2}} = a t_{2} e^{t_{1}} = t_{1} t_{2} (0 < t_{1} < t_{2})$ 时， $t_{1} (λ - t_{2}) + λ t_{2} > 0$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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行驶里程 $x$ /万千米	1	2	4	5
维修保养费用 $y$ /万元	0.50	0.90	2.30	2.70

摸取到的红球个数	2	3	4
中奖等级	三等奖	二等奖	一等奖