湖南省湘潭市2022届高三下学期数学三模试卷

试卷更新日期：2022-05-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 7 x + 12 \leq 0}$ ， $B = {x | 2 x + m > 0}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则m的取值范围为（）

A、 $(- 6 ， + \infty)$ B、 $[- 6 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 6)$ D、 $(- ∞ ， - 6]$

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2. 已知平面向量 $\vec{a} = (x + 2 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (x + 6 ， 2 x + 4)$ ，则“ $x = - 2$ ”是“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $s i n θ = 3 c o s θ$ ，则 $\frac{s i n 2 θ + c o s^{2} θ}{1 + c o s 2 θ} =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、3 C、 $\frac{7}{2}$ D、4

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4. 椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a + 2} = 1$ 的左､右焦点分别为F₁ ， F₂ ，过点F₁的直线l与E交于A，B两点，若△ABF₂的周长为12，则E的离心率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{4}{9}$

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5. 函数 $f (x) = x l n (x^{2} + 1) - 2 x$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 写算，是一种格子乘法，也是笔算乘法的一种，用以区别筹算与珠算，它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出，是从天元式的乘法演变而来.例如计算89×61，将被乘数89计入上行，乘数61计入右行，然后以乘数61的每位数字乘被乘数89的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后从右下方开始按斜行加起来，满十向上斜行进一，如图，即得5429.类比此法画出354×472的表格，若从表内的18个数字（含相同的数字，表周边数据不算在内）中任取2个数字，则它们之和大于10的概率为（）

A、 $\frac{2}{51}$ B、 $\frac{8}{153}$ C、 $\frac{10}{153}$ D、 $\frac{4}{51}$

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7. 若函数 $f (x) = c o s 2 x + s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 在（0， $α$ ）上恰有2个零点，则 $α$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{5 π}{6} ， \frac{4 π}{3})$ B、 $(\frac{5 π}{6} ， \frac{4 π}{3}]$ C、 $[\frac{5 π}{3} ， \frac{8 π}{3})$ D、 $(\frac{5 π}{3} ， \frac{8 π}{3}]$

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8. A，B，C，D是半径为4的球面上的四点，已知AB=5，BC=3，cos∠BAC= $\frac{4}{5}$ ，当AD取得最大值时，四面体ABCD的体积为（）

A、 $6 \sqrt{13}$ B、 $2 \sqrt{13}$ C、 $6 \sqrt{39}$ D、 $2 \sqrt{39}$

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二、多选题

9. 已知复数 $z_{1} = 1 - 3 i$ ， $z_{2} = 3 + i$ ，则（）

A、 $| z_{1} + z_{2} | = 6$ B、 $\bar{z_{1}} - z_{2} = - 2 + 2 i$ C、 $z_{1} z_{2} = 6 - 8 i$ D、 $z_{1} z_{2}$ 在复平面内对应的点位于第二象限

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10. 新中国成立至今，我国一共进行了7次全国人口普查，历次普查得到的全国人口总数如图1所示，城镇人口比重如图2所示.下列结论正确的有（）

A、与前一次全国人口普查对比，第五次总人数增长量高于第四次总人数增长量 B、对比这7次全国人口普查的结果，我国城镇人口数量逐次递增 C、第三次全国人口普查城镇人口数量低于2亿 D、第七次全国人口普查城镇人口数量超过第二次全国人口普查总人口数

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11. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $b > 0$ ）的左､右焦点分别为F₁（−c，0），F₂（c，0）.直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} (x + c)$ 与双曲线左､右两支分别交于A，B两点，M为线段AB的中点，且|AB|=4，则下列说法正确的有（）

A、双曲线的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\vec{F_{2} F_{1}} \cdot \vec{F_{2} M} = \vec{F_{2} A} \cdot \vec{F_{2} M}$ C、 $\vec{F_{2} F_{1}} \cdot \vec{F_{2} M} = \vec{F_{1} F_{2}} \cdot \vec{F_{1} M}$ D、 $| F_{1} M | = | F_{2} A |$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} (l n a_{n} + 1) + 1$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $\frac{2 a_{3}}{a_{1} + a_{2}} < 5$ B、 $a_{n + 1} - a_{n}^{2} \leq a_{n}^{2} + 1$ C、若 $n \geq 2$ ，则 $\frac{3}{4} \leq \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i} + 1} < 1$ D、 $\sum_{i = 1}^{n} l n (a_{i} + 1) \leq (2^{n} - 1) l n 2$

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三、填空题

13. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫作陀罗.陀螺的形状结构如图所示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为 $h_{1}$ ， $h_{2}$ ， r，且 $h_{1} = h_{2} = r$ ，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S₁和S₂ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$ .

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14. 已知正数a，b满足 $a + b = 5$ ，则 $\frac{2}{a + 1} + \frac{1}{2 b}$ 的最小值为.

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15. 已知直线l是曲线 $y = e^{x} - 1$ 与 $y = l n x + 1$ 的公共切线，则l的方程为.

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16. 已知 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{a} (2 x^{2} + 1) ， x \geq 0 \\ a^{x} ， x < 0 \end{array}$ ，若 $f (f (- 1)) = 2$ ，则 $a =$ ， $f (x) \leq 4$ 的解集为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} + b_{1} = 4$ ，且 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} b_{n} = (n - 1) 2^{n + 2} + 4$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{S_{n}} + b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 某校篮球社组织一场篮球赛，参赛队伍为甲､乙两队，比赛实行三局两胜制，已知甲队赢得每一局比赛的概率为p（ $0 < p < 1$ ）.

(1)、若最终甲队获胜的概率为 $\frac{9}{8} p$ ，求乙队赢得每一局比赛的概率.

(2)、在（1）成立的情况下，在每一局比赛中，赢的队伍得2分，输的队伍得1分.用X表示比赛结束时两支球队的得分总和，求随机变量x的分布列和期望.

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19. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $s i n^{2} B = s i n A s i n C$ .

(1)、求 $B$ 的最大值；

(2)、若 $4 s i n A s i n C = 1$ ，求 $\frac{1}{t a n A} + \frac{1}{t a n B} + \frac{1}{t a n C}$ 的值.

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20. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，底面 $A B C$ 是边长为 $2$ 的等边三角形， $A D ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A D / / B E / / C F$ ， $A D = 4$ ， $C F = 3$ ， $∠ D A E = 45 °$ .

(1)、证明： $A E ⊥ D F$ ；

(2)、求二面角 $B - A F - E$ 的余弦值.

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21. 已知抛物线E： $y^{2} = 2 p x$ （ $0 < p < 2$ ）上一点Q $(x_{Q} ， 2)$ 到其焦点的距离为 $\frac{5}{2}$ .

(1)、求抛物线E的方程，

(2)、设点P $(x_{0} ， y_{0})$ 在抛物线E上，且 $y_{0}^{2} \neq 4$ ，过P作圆C： ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，分别与抛物线E交于点M，N（M，N两点均异于P）.证明：直线MN经过R $(6 ， - y_{0})$ .

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22. 已知函数 $f (x) = l n 2 x + a x + 2$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - 2 x e^{a x + 1}$ 有且只有 $x_{1} ， x_{2}$ 两个零点，证明： $x_{1} + x_{2} > - \frac{2}{a}$ .

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