湖南省衡阳市2022届高三下学期数学二模试卷

试卷更新日期：2022-05-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x ∣ l g x < 1} ， B = {x ∣ x \leq 2}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${x ∣ 0 < x \leq 2}$ B、 ${x ∣ x \leq 2}$ C、 ${x ∣ x < 10}$ D、 $R$

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2. 已知复数 $z = 2 (1 - i) i$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- 2 i$ B、-2 C、2 D、 $2 i$

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3. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）

A、中位数 B、平均数 C、方差 D、极差

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4. 设 $m$ 、 $n$ 是空间中两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α / / β$ ，则 $m / / n$ C、若 $m / / α$ ， $n / / β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $m / / β$ ， $n / / α$ ，则 $α / / β$

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5. 某学校安排音乐､阅读､体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加，甲､乙､丙､丁4位同学每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率等于（）

A、 $\frac{1}{18}$ B、 $\frac{3}{32}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{8}{9}$

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6. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m²＋n＝4，则 $\frac{m \sqrt{n}}{2 c o s^{2} 2 7^{°} - 1}$ ＝（）

A、8 B、4 C、2 D、1

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7. 设 $a ， b ， c$ 分别是 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边，已知 $(b + \sqrt{3} c) s i n (A + C) = (a + c) (s i n A - s i n C)$ ，设 $D$ 是 $B C$ 边的中点，且 $△ A B C$ 的面积为1，则 $\vec{A B} \cdot (\vec{D A} + \vec{D B})$ 等于（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、-2

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8. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 恒有 $f (x - 1) = f (x + 1)$ ，当 $x \in [0 ， 1)$ 时， $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ，已知 $k \in (- \frac{2}{15} ， - \frac{1}{18})$ ，则函数 $g (x) = f (x) - k x - \frac{1}{3}$ 在 $(- 1 ， 6)$ 上的零点个数为（）

A、4个 B、5个 C、3个或4个 D、4个或5个

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二、多选题

9. 下列结论中正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中，若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ B、在 $△ A B C$ 中，若 $s i n 2 A = s i n 2 B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 C、两个向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 共线的充要条件是存在实数，使 $\vec{b} = λ \vec{a}$ D、对于非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ， “ $\vec{a} + \vec{b} = 0$ ”是“ $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ”的充分不必要条件

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10. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （其中 $A > 0 ， ω > 0)$ 的部分图象如图所示､将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到 $y = g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 为奇函数 B、函数 $g (x)$ 在 $(\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3})$ 上单调递减 C、函数 $F (x) = x g (x)$ 为偶函数 D、函数 $g (x)$ 的图象的对称轴为直线 $x = k π + \frac{π}{4} (k \in Z)$

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11. 圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点，点 $P$ 为 $C$ 在第一象限上的点，点 $M$ 在 $F_{1} P$ 延长线上，点 $Q$ 的坐标为 $(\frac{\sqrt{3}}{3} ， 0)$ ，且 $P Q$ 为 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线，则下列正确的是（）

A、 $\frac{| P F_{1} |}{| P F_{2} |} = 2$ B、 $| \vec{P F_{1}} + \vec{P F_{2}} | = 2 \sqrt{3}$ C、点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $\sqrt{3}$ D、 $∠ F_{2} P M$ 的角平分线所在直线的倾斜角为150°

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1 ， M ， N$ 分别为 $B B_{1} ， A B$ 的中点.下列说法正确的是（）

A、点 $M$ 到平面 $A N D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 外接球的体积为 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$ C、面 $A N D_{1}$ 截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 外接球所得圆的面积为 $\frac{3 π}{4}$ D、以顶点 $A$ 为球心， $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 $\frac{5 \sqrt{3} π}{6}$

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三、填空题

13. 二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{9}$ 的展开式中常数项是.

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14. 函数 $f (x) = x l n (- 2 x)$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = - \frac{e}{2}$ 处的切线方程为.

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15. 意大利数学家列昂那多 $\cdot$ 斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： $1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ， 21 ， 34 ， 55 ， \dots$ ，即 $F (1) = F (2) = 1 ， F (n) = F (n - 1) + F (n - 2) (n \geq 3 ， n \in N^{*})$ ，此数列在现代物理“准晶体结构”､化学等领域都有着广泛的应用.若此数列的各项除以3的余数构成一个新数列 ${a_{n}}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前2022项的和为.

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16. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0 ， b_{2} > 0)$ 有相同的焦点 $F_{1} ､ F_{2}$ ，椭圆 $C_{1}$ 的离心率为 $e_{1}$ ，双曲线 $C_{2}$ 的离心率为 $e_{2}$ ，点 $P$ 为椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 的第一象限的交点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则 $\frac{e_{1} e_{2}}{e_{1} + e_{2}}$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是递增的等差数列， $a_{3} = 7$ ，且 $a_{4}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{13}$ 的等比中项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、① $b_{n} = a_{n} \cdot {(a_{1})}^{n}$ ；② $b_{n} = \frac{1}{\sqrt{a_{n}} + \sqrt{a_{n + 1}}}$ ；③ $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ .
从上面三个条件中任选一个，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O ， A C$ 平分 $∠ D A B ， ∠ A B C = \frac{π}{3} ，$ $A B = 3 B C = 3$ .

(1)、求 $s i n ∠ D A B$ ；

(2)、若 $∠ A D C = \frac{2 π}{3}$ ，求 $△ A B D$ 的面积.

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19. 如图，已知圆台 $O_{1} O$ 的下底面半径为2，上底面半径为1，母线与底面所成的角为 $\frac{π}{3} ， A A_{1} ， B B_{1}$ 为母线，平面 $A A_{1} O_{1} O ⊥$ 平面 $B B_{1} O_{1} O ， M$ 为 $B B_{1}$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A B B_{1} ⊥$ 平面 $A O M$ ；

(2)、当点 $P$ 为线段 $A M$ 的中点时，求直线 $A M$ 与平面 $O P B$ 所成角的正弦值.

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20. 随着近期我国不断走向转型化进程以及社会就业压力的不断加剧，创业逐渐成为在校大学生和毕业大学生的一种职业选择方式.但创业过程中可能会遇到风险，有些风险是可以控制的，有些风险不可控制的，某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策：已知创业项目甲成功的概率为 $\frac{2}{3}$ ，项目成功后可获得政府奖金20万元：创业项目乙成功的概率为 $P_{0} (0 < P_{0} < 1)$ ，项目成功后可获得政府奖金30万元：项目没有成功则没有奖励，每个项目有且只有一次实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响，项目成功后当地政府兑现奖励.

(1)、大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为 $X$ （单位：万元），若 $X \leq 30$ 的概率为 $\frac{7}{9}$ ，求 $P_{0}$ 的大小：

(2)、若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的数学期望最大？

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21. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ .已知椭圆的离心率为 $\frac{1}{2} ， | A B | = \sqrt{7}$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设 $P ， Q$ 为椭圆 $E$ 上异于点 $A$ 的两动点，若直线 $A P ､ A Q$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ .
①证明直线 $P Q$ 恒过定点，并求出该点坐标；
②求 $△ A P Q$ 面积的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - m l n x$ ，其中 $m > 0$ .

(1)、若 $m = 2$ ，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、设 $g (x) = x f (x) - 1$ .若 $g (x) > 0$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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