湖北省武汉市2022届高三下学期数学四月调研试卷

试卷更新日期：2022-05-11 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{1}{1 + i}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、-1 B、1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
2. 已知 $a = e^{l n 2} ， b = l o g_{3} 4 ， c = 2^{1.1}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

查看试题解析
3. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ 或 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$ 或 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
4. 如图，在棱长为2的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

查看试题解析
5. 设 $s i n 3 2^{∘} = k$ ，则 $t a n 1 6^{∘} + \frac{1}{t a n 1 6^{∘}} =$ （）

A、 $\frac{2}{k}$ B、 $\frac{1}{k}$ C、 $2 k$ D、 $k$

查看试题解析
6. 已知直线 $a x + b y - 1 = 0 (a b > 0)$ 过圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2022$ 的圆心，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、 $3 - 2 \sqrt{2}$ C、6 D、9

查看试题解析
7. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = f (x) - 2$ ，则下列是周期函数的是（）

A、 $y = f (x) - x$ B、 $y = f (x) + x$ C、 $y = f (x) - 2 x$ D、 $y = f (x) + 2 x$

查看试题解析
8. 某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量 $X$ 的期望 $E (X)$ 和方差 $D (X)$ 存在但其分布末知的情况下，对事件“ $| X - E (X) | ⩾ ε$ ”的概率作出上限估计，其中 $ε$ 为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为： $P (| X - E (X) | ⩾ ε) ⩽ f (D (X) ， ε)$ ，其中 $f (D (X) ， ε)$ 是关于 $D (X)$ 和 $ε$ 的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定 $f (D (X) ， ε)$ 的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据所学相关知识，确定该形式是（）

A、 $D (X) \cdot ε^{2}$ B、 $\frac{1}{D (X) \cdot ε^{2}}$ C、 $\frac{ε^{2}}{D (X)}$ D、 $\frac{D (X)}{ε^{2}}$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知集合 $A = {1 ， 4 ， a} ， B = {1 ， 2 ， 3}$ ，若 $A ∪ B = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则 $a$ 的取值可以是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

查看试题解析
10. 在研究某种产品的零售价 $x$ （单位：元）与销售量 $y$ （单位：万件）之间的关系时，根据所得数据得到如下所示的对应表：
$x$
12
14
16
18
20
$y$
17
16
14
13
11
利用最小二乘法计算数据，得到的回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 26.2$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $x$ 与 $y$ 的样本相关系数 $r > 0$ B、回归直线必过点 $(16 ， 14.2)$ C、 $\hat{b} < 0$ D、若该产品的零售价定为22元，可预测销售量是9.7万件

查看试题解析
11. 函数 $f (x) = s i n x + a c o s x (a \neq 0)$ 在一个周期内的图象可以是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
12. 数列 ${a_{n}}$ 共有 $M$ 项（常数 $M$ 为大于5的正整数），对任意正整数 $k ⩽ M$ ，有 $a_{k} + a_{M + 1 - k} = 0$ ，且当 $n ⩽ \frac{M}{2}$ 时， $a_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ .记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列说法中正确的有（）

A、若 $S_{n} ⩽ \frac{1023}{1024}$ ，则 $M ⩽ 20$ B、 ${a_{n}}$ 中可能出现连续五项构成等差数列 C、对任意小于 $M$ 的正整数 $p ， q$ ，存在正整数 $i ， j$ ，使得 $a_{i} + a_{j} = S_{p} - S_{q}$ D、对 ${a_{n}}$ 中任意一项 $a_{r}$ ，必存在 $a_{s} ， a_{t} (s \neq t)$ ，使得 $a_{r} ， a_{s} ， a_{t}$ 按照一定顺序排列可以构成等差数列

查看试题解析

三、填空题

13. 若平面向量 $\vec{a} = (1 ， 1) ， \vec{b} = (2 ， m)$ 满足 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $m =$ .

查看试题解析
14. 若一个偶函数的值域为 $(0 ， 1]$ ，则这个函数的解析式可以是 $f (x) =$ .

查看试题解析
15. 如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为 $20 \sqrt{2}$ 米，则该双曲线的离心率为.

查看试题解析
16. 三棱锥 $P - A B C$ 的底面是以 $A C$ 为底边的等腰直角三角形，且 $A C = 2 \sqrt{2}$ ，各侧棱长均为3，点 $E$ 为棱 $P A$ 的中点，点 $Q$ 是线段 $C E$ 上的动点，则 $E$ 到平面 $A B C$ 的距离为；设 $Q$ 到平面 $P B C$ 的距离为 $d_{1} ， Q$ 到直线 $A B$ 的距离为 $d_{2}$ ，则 $d_{1} + d_{2}$ 的最小值为.

查看试题解析

四、解答题

17. 公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} = a_{5} a_{8}$ ， $a_{6} = 1$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求使 $S_{n} < a_{n}$ 成立的最大正整数 $n$ .

查看试题解析
18. 某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱出售，每箱10个.在采购时，随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验.若其中没有次品，则直接购买该箱电子元件；否则，不购买该箱电子元件.

(1)、若某箱电子元件中恰有一个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率；

(2)、若某箱电子元件中恰有两个次品，记对随机抽取的3个电子元件进行检测的次数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及期望.

查看试题解析
19. 如图，圆台上底面圆 $O_{1}$ 半径为1，下底面圆 $O_{2}$ 半径为 $\sqrt{2} ， A B$ 为圆台下底面的一条直径，圆 $O_{2}$ 上点 $C$ 满足 $A C = B C ， P O_{1}$ 是圆台上底面的一条半径，点 $P ， C$ 在平面 $A B O_{1}$ 的同侧，且 $P O_{1} / / B C$ .

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若圆台的高为2，求直线 $A O_{1}$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
20. 如图， $△ A B C$ 内一点 $P$ 满足 $P B ⊥ P C ， A C = B P = 2$ .

(1)、若 $A B = \sqrt{6} ， P C = \sqrt{2}$ ，求 $s i n ∠ A C P$ 的值；

(2)、若 $A B = \sqrt{5} ， s i n ∠ A C P = \frac{1}{10}$ ，求 $A P$ 的长.

查看试题解析
21. 已知抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，点 $Q (\frac{1}{4} ， m)$ 为 $E$ 上一点，且 $Q$ 到 $E$ 的准线的距离等于其到坐标原点 $O$ 的距离.

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、设 $A B$ 为圆 $(x + 2)^{2} + y^{2} = 4$ 的一条不垂直于 $y$ 轴的直径，分别延长 $A O ， B O$ 交 $E$ 于 $C ， D$ 两点，求四边形 $A B C D$ 面积的最小值.

查看试题解析
22. 定义在 $(- \frac{π}{2} ， + \infty)$ 上的函数 $f (x) = (x - k) s i n x$ .

(1)、当 $k = \frac{π}{6}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；

(2)、将 $f (x)$ 的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列 ${x_{n}}$ ，若 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，求 $k$ 的值.

查看试题解析

$x$	12	14	16	18	20
$y$	17	16	14	13	11