黑龙江省大庆市2022届高三理数第三次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2022-05-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设 $U \in R$ ， $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | x \geq 1}$ ，则 $A ∩ ∁_{U} B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$

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2. 已知复数 $z = \frac{1 - 3 i}{1 - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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3. 以下四个命题中是假命题的是（）

A、“昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿”此推理属于演绎推理． B、“在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若 $a / / b$ ， $b / / c$ ，则 $a / / c$ ，将此结论放到空间中也成立”此推理属于合情推理． C、若命题“ $\neg p$ ”与命题“ $p \lor q$ ”都是真命题，那么命题q一定是真命题． D、若 $x \in (0 ， \frac{π}{2}]$ ，则 $s i n x + \frac{2}{s i n x}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ．

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4. 设向量 $\vec{a} = (x ， x - 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1)$ ．若 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则实数 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{5}{3}$ C、10 D、-11

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5. 已知 $\sin (α + β) = \frac{2}{3}$ ， $\sin (α - β) = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{\tan α}{\tan β}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、-3 D、3

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6. 在 ${(x + \frac{a}{x})}^{n}$ 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含 $x^{6}$ 的项系数为（）

A、45 B、-45 C、120 D、-120

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7. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 与直线 $3 x + y = 0$ 没有交点，则双曲线离心率的取值范围为（）

A、 $[\sqrt{10} ， + \infty)$ B、 $(1 ， \sqrt{10})$ C、 $(1 ， \sqrt{10}]$ D、 $(\sqrt{10} ， + \infty)$

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8. 已知定义域为R的偶函数满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = e^{1 - x} - 1$ ，则方程 $f (x) = \frac{1}{| x - 1 |}$ 在区间 $[- 3 ， 5]$ 上所有解的和为（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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9. 已知圆柱的两个底面的圆周在体积为 $\frac{32 π}{3}$ 的球 $O$ 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（）

A、4π B、8π C、12π D、16π

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10. 已知 $P$ 是曲线 $y = \sin x + \cos x (x \in [0 ， \frac{3 π}{4}])$ 上的动点，点 $Q$ 在直线 $x + y - 6 = 0$ 上运动，则当 $| P Q |$ 取最小值时，点 $P$ 的横坐标为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2π}{3}$

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11. 《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）
（结果精确到0.1．参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771．）

A、2.6天 B、2.2天 C、2.4天 D、2.8天

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12. 已知函数 $f (x) = x \ln \frac{a}{x} + a e^{x}$ ， $g (x) = - x^{2} + x$ ，当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{e^{2}}, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{e}, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[e, + \infty)$

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二、填空题

13. 已知随机变量X，Y满足 $X + Y = 8$ ，若 $X ~ B (10 ， 0.6)$ ，则 $E (Y) =$ .

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14. 正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} a_{n + 2} = a_{n + 1}^{2}$ ， $n \in N^{*}$ ．若 $a_{5} = \frac{1}{9}$ ， $a_{2} a_{4} = 1$ ，则 $a_{2}$ 的值为．

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15. 已知四面体ABCD的所有棱长均为 $\sqrt{2}$ ､M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点，有下列结论：
①线段MN的长度为1；
②若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线；
③四面体ABCD的外接球表面积为3π；
④△MFN周长的最小值为 $\sqrt{2} + 1$ .
其中所有正确结论的编号为.

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16. 已知F是抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点，A为抛物线上的动点，点 $B (- 1 ， 0)$ ，则当 $\frac{2 | A B |}{2 | A F | + 1}$ 取最大值时， $| A B |$ 的值为.

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三、解答题

17. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $A D ： A B = 2 ： 3$ ， $B D = \sqrt{7}$ ， $A B ⊥ B C$ ．

(1)、求 $s i n ∠ A B D$ 的值；

(2)、若 $∠ B C D = \frac{2 π}{3}$ ，求 $C D$ 的长．

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18. 如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直于圆O所在平面，G为△AOC的重心.

(1)、求证：平面 $O P G ⊥$ 平面PAC；

(2)、若 $P A = A B = 2 A C = 2$ ，求二面角A-OP-G的余弦值.

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19. 某社区开展了“健康身体，从我做起”社区健身活动，运动分为徒手运动和器械运动两大类.该社区对参与活动的1200人进行了调查，其中男性650人，女性550人，所得统计数据如下表所示：（单位：人）
性别
器械类
徒手类
合计
男性
590
女性
240
合计
900
附： $x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ；
$P (χ^{2} ≥ k)$
0.050
0.025
0.010
0.005
k
3.841
5.024
6.635
7.879

(1)、请将题中表格补充完整，并判断能否有99%把握认为“是否选择器械类与性别有关”？

(2)、为了检验活动效果，该社区组织了一次竞赛活动，竞赛包括三个项目，一个是器械类，两个是徒手类，规定参与者必须三个项目都参加.据以往经验，参赛者通过器械类竞赛的概率是 $\frac{3}{4}$ ，通过徒手类竞赛的概率都是 $\frac{4}{5}$ ，且各项目是否通过相互独立.用 $X$ 表示某居民在这次竞赛中通过的项目个数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $A (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，其长半轴长为2.

(1)、求椭圆C的方程：

(2)、设经过点 $B (- 1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆C相交于D，E两点，点E关于x轴的对称点为F，直线DF与x轴相交于点G，求 $△ D E G$ 的面积 $S$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = a l n x - \frac{1}{4} x^{2} + b - l n 2$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程为 $y = - \frac{1}{2} x + 1$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）设 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是函数 $g (x) = f (x) - m$ 的两个零点，求证： $x_{2} - x_{1} < \frac{3}{2} - 4 m$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C_{1} ： {\begin{array}{l} x = t ， \\ y = 2 t^{2} - t + \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$ (t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2} ： ρ = 2 a c o s θ (a > 0)$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设射线 $θ = \frac{π}{3} (ρ \geq 0)$ 与 $C_{1}$ 相交于A，B两点，与 $C_{2}$ 相交于M点(异于O)，若 $| O M | = | A B |$ ，求a.

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23. 已知关于x的不等式 $2 a + 3 b + 4 c \leq | x | + | x - 1 | (x \in R)$ 恒成立.

(1)、求 $2 a + 3 b + 4 c$ 的最大值；

(2)、当 $a > - \frac{1}{2}$ ， $b > \frac{1}{3}$ ， $c > - \frac{1}{2}$ ， $2 a + 3 b + 4 c$ 取得最大值时，证明： $\frac{1}{2 a + 1} + \frac{1}{3 b - 1} + \frac{1}{4 c + 2} \geq 3$ .

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性别	器械类	徒手类	合计
男性	590
女性		240
合计	900

$P (χ^{2} ≥ k)$	0.050	0.025	0.010	0.005
k	3.841	5.024	6.635	7.879