河南省豫西名校2021-2022学年高三下学期理数4月教学质量检测试卷

试卷更新日期：2022-05-11 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{i^{2022}}{1 + 2 i}$ （i是虚数单位），则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
2. 已知集合 $M = {x | x = \frac{k π}{4} + \frac{π}{2} ， k \in Z}$ ， $N = {x | x = \frac{k π}{2} + \frac{π}{4} ， k \in Z}$ ，则（）

A、 $N \subseteq M$ B、 $M \subseteq N$ C、 $M = N$ D、 $M ∩ N = \emptyset$

查看试题解析
3. 已知直线 $l_{1}$ ： $(a - 2) x + a y + 2 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x + (a - 2) y + a = 0$ ，则“ $l_{1} ⊥ l_{2}$ ”是“ $a = - 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 设单位向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$ ，则向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

查看试题解析
5. 已知一个圆锥的母线长为6，侧面积为18π，则此圆锥的体积为（）

A、9π B、12π C、 $9 \sqrt{3} π$ D、 $12 \sqrt{3} π$

查看试题解析
6. 已知 $3 t a n 10 ° + λ c o s 80 ° = \sqrt{3}$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、2

查看试题解析
7. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， E为棱 $B B_{1}$ 的中点，则平面 $A E D_{1}$ 截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的截面面积为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、4 D、 $\frac{9}{2}$

查看试题解析
8. 若 $0 < a < b < 1$ ，则 $a^{b}$ ， $b^{a}$ ， $l o g_{b} a$ 的大小关系为（）

A、 $a^{b} > b^{a} > l o g_{b} a$ B、 $b^{a} > a^{b} > l o g_{b} a$ C、 $l o g_{b} a > a^{b} > b^{a}$ D、 $l o g_{b} a > b^{a} > a^{b}$

查看试题解析
9. 中华文化综罗百代，广博精微，国学经典中蕴藏着中华五千年历史的智慧精髓.某校学生会举办“传承中华文化，诵读国学经典”活动，供选择的诵读经典著作为：《春秋》、《史记》、《左传》、《孙子兵法》.经过层层遴选，有三位选手进入决赛，这三位选手可以从如上著作中，任选一篇文章诵读.那么这三位选手中，恰有两人诵读的篇目取自于同一部著作的概率为（）

A、 $\frac{1}{64}$ B、 $\frac{29}{32}$ C、 $\frac{9}{16}$ D、 $\frac{7}{16}$

查看试题解析
10. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，直线l过 $F_{2}$ 且与双曲线交于A，B两点，若直线l不与x轴垂直，且 $(\vec{F_{1} A} + \vec{F_{1} B}) \cdot \vec{A B} = 0$ ，则直线l的斜率为（）

A、 $\pm \sqrt{3}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{15}}{5}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{5}$ D、 $\pm \frac{1}{2}$

查看试题解析
11. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $l n (2 a) + l n b \geq a^{2} + b^{2} - 1$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
12. 已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c o s C = \frac{b - a}{2 a}$ ，则 $s i n B + s i n A$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{3}{2})$ B、 $(1 ， \sqrt{3}]$ C、 $(\sqrt{2} ， \frac{3}{2})$ D、 $(\sqrt{2} ， \frac{8 \sqrt{3}}{9}]$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 3 ， (x < 1) ， \\ f (x - 4) ， (x \geq 1) ， \end{array}$ ，则 $f (2022) =$ .

查看试题解析
14. 橘生淮南则为橘，生于淮北则为枳，出自《晏子使楚》．意思是说，橘树生长在淮河以南的地方就是橘树，生长在淮河以北的地方就是枳树，现在常用来比喻一旦环境改变，事物的性质也可能随之改变．某科研院校培育橘树新品种，使得橘树在淮北种植成功，经过科学统计，单个果品的质量 $ξ$ （单位：g）近似服从正态分布 $N (90 ， σ^{2})$ ，且 $P (86 < ξ \leq 90) = 0.3$ ，在有1000个的一批橘果中，估计单个果品质量不低于94g的橘果个数为．

查看试题解析
15. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 的焦点是 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于不同的A，B两点，则 $(| A F | + 1) \cdot | B F |$ 的最小值是．

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到 $y = g (x)$ 的图象，则下列有关 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的描述正确的有．（填序号）
①方程 $f (x) + g (x) = \sqrt{6} (x \in (0 ， \frac{3 π}{2}))$ 所有根的和为 $\frac{7 π}{12}$ ；
②不等式 $\frac{g (x)}{f (x)} \geq \sqrt{3}$ 的解集为 $[\frac{π}{3} + \frac{k π}{2} ， \frac{5 π}{6} + \frac{k π}{2})$ ， $k \in Z$
③函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = g (x)$ 图象关于 $x = \frac{7 π}{24}$ 对称．

查看试题解析

三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{n + 1}}{n + 1} - \frac{a_{n}}{n} = \frac{1}{n (n + 1)} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{a_{n}}{3^{n - 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

查看试题解析
18. 棉花是我国主要经济作物､纺织工业原料､重要战略物资.量化我国棉花生产碳足迹，解析其时空变化规律，阐明其主要构成因素与影响要素，对于“碳达峰，碳中和”愿景下我国棉花绿色可持续生产具有重要意义.某地因地制宜发展特色棉花种植，随着人们种植意识的提升和科技人员的大力指导，越来越多的农田开始种植棉花，近4年该地区棉花种植面积如下表：（单位：百亩）
年度
2018
2019
2020
2021
年度代码x
1
2
3
4
种植面积y
306
347
390
420
参考公试：线性回归方程： $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
临界值表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.01
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
6.635

(1)、请利用所给数据求棉花种植面积y与年度代码x之间的回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并估计该地区2022年棉花的种植面积；

(2)、针对近几年来棉花出现的生理性蕾铃脱落，及棉花枯､黄萎病等问题，某科研小组随机抽查了100亩棉花，对是否按时足量施用硼肥和棉花产量进行统计得到如下数据：

亩产 $\geq 110 k g$
亩产 $< 110 k g$
未按时足量施用硼肥
20
10
按时足量施用硼肥
58
12
问：是否有90%的把握认为棉花产量与是否按时足量施用硼肥有关？

查看试题解析
19. 如图，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 6 0^{∘}$ ， $A B = 2$ ，平面 $A B E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E F / / A B$ ， $∠ B A F = 9 0^{∘}$ ， $A F = E F = 1$ ，点 $P$ 在线段 $C E$ 上（不包含端点）．

(1)、求证： $B D ⊥ F C$ ；

(2)、是否存在点 $P$ ，使得二面角 $P - A B - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ？若存在，则求出 $\frac{E P}{P C}$ 的值；若不存在，请说明理由．

查看试题解析
20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1} ， A_{2} ， | A_{1} A_{2} | = 4$ ，且过点 $(\sqrt{2} ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、若直线 $l ： y = k (x - 4) (k \neq 0)$ 与C交于M，N两点，直线 $A_{1} M$ 与 $A_{2} N$ 相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出此定直线的方程．

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = l n x - 2 a x ， a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) - l n x \leq a x c o s x - s i n x$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，求a的取值范围.

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + c o s α \\ y = 2 + s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求C的普通方程；

(2)、已知点P的直角坐标为 $(- 1 ， 2)$ ，过点P作C的切线，求切线的极坐标方程．

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | x - m | + | x + 2 |$ .

(1)、若 $f (x) \geq 4$ 的解集为R，求正数m的取值范围；

(2)、若 $m = 2$ ，函数 $f (x)$ 的最小值为t， $a + b + c = t$ ，求证： $(a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + (c + 2)^{2} \geq 12$ .

查看试题解析

年度	2018	2019	2020	2021
年度代码x	1	2	3	4
种植面积y	306	347	390	420

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.01
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	6.635

	亩产 $\geq 110 k g$	亩产 $< 110 k g$
未按时足量施用硼肥	20	10
按时足量施用硼肥	58	12