河南省许昌市、济源市、平顶山市2022届高三理数第三次质量检测试卷

试卷更新日期：2022-05-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} \leq 2}$ ， Z为整数集，则集合 $A ∩ Z$ 子集的个数是（）

A、3 B、6 C、7 D、8

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2. 已知点 $A (2 ， - 1)$ ， $B (1 ， 2)$ ， $O (0 ， 0)$ ，复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面内对应的向量分别是 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ，则复数 $z_{1} \cdot z_{2} =$ （）

A、3i B、 $3 + 4 i$ C、 $4 + 3 i$ D、 $4 - 3 i$

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3. 一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，抽出的男运动员平均身高为 $177.5 c m$ ，抽出的女运动员平均身高为 $168.4 c m$ ，估计该田径队运动员的平均身高是（）

A、172.95cm B、173.6cm C、172.3cm D、176cm

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4. 在△ $A B C$ 中，“ $\vec{A B} \cdot \vec{B C} < 0$ ”是“△ $A B C$ 为钝角三角形” 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若实数a， $b$ ， c满足 $a = l o g_{\frac{1}{3}} 4$ ， $b^{3} = 7$ ， $l n c = \frac{2}{c}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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6. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x + c$ （ $x \in R$ ）的值域为 $[0 ， + ∞)$ ，则 $\frac{1}{c} + \frac{4}{a}$ 的最小值为（）

A、-4 B、4 C、8 D、-8

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7. 已知抛物线 $y^{2} = 16 x$ ，过点 $M (2 ， 0)$ 的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若 $| A F | = 12$ ， O为坐标原点，则四边形 $O A F B$ 的面积是（）

A、 $20 \sqrt{2}$ B、 $10 \sqrt{2}$ C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ），将 $f (x)$ 图象上所有点向右平移 $\frac{π}{6 ω}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 是奇函数， $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{6})$ 上单调递增，则 $ω$ 的最大值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、2 D、3

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9. 已知 $M$ ， $N$ 为圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 0$ 上两点，且 $| M N | = 4$ ，点 $P$ 在直线 $l$ ： $x - y + 3 = 0$ 上，则 $| \vec{P M} + \vec{P N} |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} - 2$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2} + 2$ D、 $2 \sqrt{2} - \sqrt{5}$

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10. 函数 $f (x) = e^{x - 1} - e^{1 - x} - \frac{2}{x - 1}$ 的所有零点之和为（）

A、0 B、2 C、4 D、6

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ， $(a ， b > 0)$ 的左右焦点记为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $l$ 过 $F_{2}$ 且与该双曲线的一条渐近线平行，记 $l$ 与双曲线的交点为P，若所得 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径恰为 $\frac{b}{3}$ ，则此双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{11}}{2}$

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12. 已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A B = 2$ ， $A A_{1} = a$ ，点 $M$ 为 $C C_{1}$ 点的中点，点 $P$ 为上底面A₁B₁C₁D₁上的动点，下列四个结论中正确的个数为（）
①当 $a = \sqrt{3}$ 且点 $P$ 位于上底面的中心时，四棱柱 $P - A B C D$ 外接球的表面积为 $\frac{25 π}{3}$ ；②当 $a = 2$ 时，存在点 $P$ 满足 $P A + P M = 4$ ；③当 $a = 2$ 时，存在唯一的点 $P$ 满足 $∠ A P M = 90 °$ ；④当 $a = 2$ 时，满足 $B P ⊥ A M$ 的点 $P$ 的轨迹长度为 $\sqrt{2}$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 已知变量x，y满足约束条件 ${\begin{cases} y \leq x \\ x + y \leq 4 \\ y \geq 1 \end{cases}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为.

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14. 已知 ${(x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，第4项的系数与倒数第四项的系数之比为 $\frac{1}{4}$ ，则展开式中二项式系数最大的项的系数为．

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15. 神舟十三号三位航天英雄在太空出差180余天后，顺利返回地面．如图，返回舱达到一定高度时，近似垂直落地，在下落过程中的某时刻位于点 $C$ ，预计垂直落在地面点 $D$ 处，在地面同一水平线上的A、B两个观测点，分别观测到点 $C$ 的仰角为15°，45°，若 $| A B | = 24$ 千米，则点 $C$ 距离地面的高度 $| C D |$ 约为千米（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）．

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16. 已知函数 $f (x) = m l n x - 2 x^{3} + 4 e x^{2} - m x$ （ $m \geq 0$ ），若 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上有零点，则实数 $m$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = - 3$ ， $S_{6} = 12$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $G_{n} = 2^{n + 1} - 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 在2022年北京冬奥会上，甲、乙、丙三名滑雪运动员参加小组赛，已知甲晋级的概率为 $p$ ，乙、丙晋级的概率均为 $q$ ，且三人是否晋级相互独立．

(1)、若甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、丙两人中有且仅有一人晋级的概率也相等，求 $p$ 和 $q$ ；

(2)、若 $p = \frac{1}{2}$ ，记三个人中晋级的人数为 $X$ ，若 $X = 0$ 时的概率和 $X = 3$ 时的概率相等，求 $X$ 的数学期望和方差．

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19. 如图，D为圆锥的顶点， $O$ 是圆锥底面的圆心，AE为底面直径， $A E = A D$ ， $△ A B C$ 是底面的内接正三角形，且 $D O = 6$ ， P是线段 $D O$ 上一点．

(1)、若 $P A ⊥$ 平面 $P B C$ ，求 $P O$ ；

(2)、当 $P O$ 为何值时，直线 $E P$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值最大？

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，长轴长为4．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知直线 $l$ 的过定点 $E (\frac{1}{4} ， 0)$ ，若椭圆 $C$ 上存在两点A，B关于直线 $l$ 对称，求直线 $l$ 斜率 $k$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = - a x + \frac{e^{x}}{x} + a l n x$ （ $a \in R$ ）．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $y = f (x)$ 的图像在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若对任意的 $x > 0$ ， $f (x) - 2022 \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 c o s θ \\ y = 2 s i n θ \end{array}$ （θ为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ s i n (θ + \frac{π}{4}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求圆 $C_{1}$ 的极坐标方程及曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设射线 $l ： θ = α (0 < α < \frac{π}{2})$ 与圆 $C_{1}$ 交于异于原点 $O$ 的一点 $M$ ，与曲线 $C_{2}$ 交于点 $N$ ，求 $△ O C_{1} M$ 与 $△ O C_{1} N$ 面积之比的最大值.

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23. 已知 $f (x) = | a^{2} x + 1 |$ ， $g (x) = | 2 - \frac{2}{a} x |$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) - g (x) ≥ - 1$ 的解集；

(2)、若 $a > 0$ ， $f (1) ≤ E$ ， $g (1) ≤ F$ ，证明： $E + F ≥ 2$ ．

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